Най-важното от урока
Разлика от квадрати: Търсете израз от вида \(A^2 - B^2\) и го разложете като \((A-B)(A+B)\).
Пример: \(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\).
Точен квадрат: Търсете тричлен от вида \(A^2 \pm 2AB + B^2\) и го сведете до \((A \pm B)^2\).
Пример: \(x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2\).
Комбиниране: Първо групирайте членове в точен квадрат, след това приложете формулата за разлика от квадрати.
Пример: \(y^2 + 6y + 9 - z^2 = (y+3)^2 - z^2 = (y+3-z)(y+3+z)\).
Пример: \(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\).
Точен квадрат: Търсете тричлен от вида \(A^2 \pm 2AB + B^2\) и го сведете до \((A \pm B)^2\).
Пример: \(x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2\).
Комбиниране: Първо групирайте членове в точен квадрат, след това приложете формулата за разлика от квадрати.
Пример: \(y^2 + 6y + 9 - z^2 = (y+3)^2 - z^2 = (y+3-z)(y+3+z)\).
Тази формула се използва за разлагане на изрази, които представляват разлика на два точни квадрата.
\[ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \]
Където 'a' и 'b' могат да бъдат числа, променливи или цели изрази.
Разлагане на \(9m^2 - 4n^2\):
Представяме всеки член като квадрат: \(9m^2 = (3m)^2\) и \(4n^2 = (2n)^2\).
Прилагаме формулата: \[ (3m)^2 - (2n)^2 = (3m-2n)(3m+2n) \]
Представяме всеки член като квадрат: \(9m^2 = (3m)^2\) и \(4n^2 = (2n)^2\).
Прилагаме формулата: \[ (3m)^2 - (2n)^2 = (3m-2n)(3m+2n) \]
Когато изваждаме израз в скоби, внимавайте със знаците.
Пример: \( a^2 - (b+c)^2 = (a - (b+c))(a + (b+c)) = (a-b-c)(a+b+c) \)
Пример: \( a^2 - (b+c)^2 = (a - (b+c))(a + (b+c)) = (a-b-c)(a+b+c) \)
Разложете на множители израза \(25x^2 - 1\).
Отговор: \(25x^2 - 1 = (5x)^2 - 1^2 = (5x-1)(5x+1)\).
Тази формула се прилага за разлагане на тричлени. За да се използва, тричленът трябва да съдържа два члена, които са точни квадрати (\(a^2\) и \(b^2\)), и трети член, който е равен на удвоеното произведение на основите им (\(2ab\)).
\[ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \]
\[ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \]
Разлагане на \(9m^2 - 6m + 1\):
1. Намираме квадратите: \(9m^2 = (3m)^2\) и \(1 = 1^2\).
2. Проверяваме удвоеното произведение: \(2 \cdot (3m) \cdot 1 = 6m\).
3. Определяме знака: Знакът пред \(6m\) е минус, следователно използваме формулата за \((a-b)^2\).
Резултат: \(9m^2 - 6m + 1 = (3m-1)^2\).
1. Намираме квадратите: \(9m^2 = (3m)^2\) и \(1 = 1^2\).
2. Проверяваме удвоеното произведение: \(2 \cdot (3m) \cdot 1 = 6m\).
3. Определяме знака: Знакът пред \(6m\) е минус, следователно използваме формулата за \((a-b)^2\).
Резултат: \(9m^2 - 6m + 1 = (3m-1)^2\).
Разложете на множители тричлена \(x^2 + 14x + 49\).
Отговор: \(x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = (x+7)^2\).
Някои многочлени се разлагат чрез комбиниране на няколко метода. Често се налага първо да се групират членове, за да се образува точен квадрат, след което се прилага формулата за разлика от квадрати.
Групирайте три от членовете, които образуват формула за точен квадрат.
Разложете тричлена до \((a \pm b)^2\).
Приложете формулата за разлика от квадрати \(A^2 - B^2\).
Разлагане на \(a^2 - 2ab + b^2 - 25\):
Стъпка 1 и 2: Групираме първите три члена: \((a^2 - 2ab + b^2) - 25 = (a-b)^2 - 25\).
Стъпка 3: Сега имаме разлика от квадрати, \((a-b)^2\) и \(25 = 5^2\). \[ (a-b)^2 - 5^2 = (a-b-5)(a-b+5) \]
Стъпка 1 и 2: Групираме първите три члена: \((a^2 - 2ab + b^2) - 25 = (a-b)^2 - 25\).
Стъпка 3: Сега имаме разлика от квадрати, \((a-b)^2\) и \(25 = 5^2\). \[ (a-b)^2 - 5^2 = (a-b-5)(a-b+5) \]
Разложете на множители израза \(x^2 + 10x + 25 - 4y^2\).
Групираме: \((x^2 + 10x + 25) - 4y^2 = (x+5)^2 - (2y)^2\).
Прилагаме разлика от квадрати: \((x+5-2y)(x+5+2y)\).
Прилагаме разлика от квадрати: \((x+5-2y)(x+5+2y)\).
Задачи за упражнение
Лесна: Разложете на множители \(4a^2 - b^2\).
\(4a^2 - b^2 = (2a)^2 - b^2 = (2a-b)(2a+b)\)
Средна: Разложете на множители \((x+y)^2 - (x-y)^2\).
Прилагаме формулата за разлика от квадрати, където \(a = (x+y)\) и \(b = (x-y)\):
\(((x+y)-(x-y))((x+y)+(x-y))\)
Разкриваме вътрешните скоби:
\((x+y-x+y)(x+y+x-y)=(0x+2y)(2x+0y)\)
Извършваме умножението:
\((2y)(2x) = 4xy\)
\(((x+y)-(x-y))((x+y)+(x-y))\)
Разкриваме вътрешните скоби:
\((x+y-x+y)(x+y+x-y)=(0x+2y)(2x+0y)\)
Извършваме умножението:
\((2y)(2x) = 4xy\)
Трудна: Разложете на множители \(9 - a^2 + 2ab - b^2\).
Изнасяме минус пред скоби от последните три члена, за да сменим знаците им:
\(9 - (a^2 - 2ab + b^2)\)
Разпознаваме точния квадрат в скобите:
\(3^2 - (a-b)^2\)
Прилагаме формулата за разлика от квадрати:
\((3 - (a-b))(3 + (a-b))\)
\((3-a+b)(3+a-b)\)
\(9 - (a^2 - 2ab + b^2)\)
Разпознаваме точния квадрат в скобите:
\(3^2 - (a-b)^2\)
Прилагаме формулата за разлика от квадрати:
\((3 - (a-b))(3 + (a-b))\)
\((3-a+b)(3+a-b)\)
