Най-важното от урока
Ключови формули:
- Куб на сбор: \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \).
Пример: \((x+1)^3 = x^3+3x^2+3x+1\). - Куб на разлика: \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \).
Пример: \((y-1)^3 = y^3-3y^2+3y-1\).
Кубът на сбор на два израза \(a\) и \(b\) е равен на сбор от куба на първия израз, утроеното произведение на квадрата на първия с втория, утроеното произведение на първия с квадрата на втория и куба на втория израз.
\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
Разкриване на скобите на \((x+2)^3\):
\[ (x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3
= x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \]
Задача: Разкрийте скобите на \((y+1)^3\).
\[ (y+1)^3 = y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 1 + 3 \cdot y \cdot 1^2 + 1^3 = y^3 + 3y^2 + 3y + 1 \]
Кубът на разлика на два израза \(a\) и \(b\) е равен на куба на първия израз, минус утроеното произведение на квадрата на първия с втория, плюс утроеното произведение на първия с квадрата на втория, минус куба на втория израз.
\[ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]
Разкриване на скобите на \((p-2)^3\):
\[ (p-2)^3 = p^3 - 3 \cdot p^2 \cdot 2 + 3 \cdot p \cdot 2^2 - 2^3 = p^3 - 6p^2 + 12p - 8 \]
Задача: Разкрийте скобите на \((2x-1)^3\).
\[ (2x-1)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (2x) \cdot 1^2 - 1^3 \]
\[ = 8x^3 - 3 \cdot 4x^2 + 6x - 1 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 \]
Тъждествата за куб на сбор и разлика се използват за разкриване на скоби в по-сложни изрази, след което се извършва приведение (събиране и изваждане на подобни едночлени).
Приложете формулите \((a \pm b)^3\), за да разкриете скобите. Внимавайте със знаците.
Ако има множител пред скобите, умножете всеки член в разкрития израз.
Групирайте и съберете подобните едночлени, за да получите крайния опростен вид.
Опростете израза \(A = (x + 2)^3 - x(x^2 - 4x + 4)\):
- Разкриваме \((x + 2)^3\):
\( (x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \) - Разкриваме \(x(x^2 - 4x + 4)\):
\( x(x^2 - 4x + 4) = x^3 - 4x^2 + 4x \) - Заместваме в израза \(A\):
\( A = (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - (x^3 - 4x^2 + 4x) \)
\( A = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - x^3 + 4x^2 - 4x \) - Привеждаме подобните членове:
\( A = (x^3 - x^3) + (6x^2 + 4x^2) + (12x - 4x) + 8 \)
\( A = 10x^2 + 8x + 8 \)
Задача: Опростете израза \(B = (y-1)^3 - y(y^2 - 3y)\).
\[ B = (y^3 - 3y^2 \cdot 1 + 3y \cdot 1^2 - 1^3) - (y^3 - 3y^2) \]
\[ B = y^3 - 3y^2 + 3y - 1 - y^3 + 3y^2 \]
\[ B = (y^3 - y^3) + (-3y^2 + 3y^2) + 3y - 1 \]
\[ B = 3y - 1 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Извършете степенуването \((a+3)^3\).
\[ (a+3)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 + 3^3 = a^3 + 9a^2 + 27a + 27 \]
Средна: Разкрийте скобите в израза \((3x - 2y)^3\).
\[ (3x - 2y)^3 = (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2 \cdot (2y) + 3 \cdot (3x) \cdot (2y)^2 - (2y)^3 \]
\[ = 27x^3 - 3 \cdot 9x^2 \cdot 2y + 9x \cdot 4y^2 - 8y^3 \]
\[ = 27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3 \]
Трудна: Опростете израза \((a+1)^3 - (a-1)^3 - 6a^2\).
Първо разкриваме всеки куб поотделно:
\((a+1)^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1\)
\((a-1)^3 = a^3 - 3a^2 + 3a - 1\)
Заместваме в израза:
\( (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) - (a^3 - 3a^2 + 3a - 1) - 6a^2 \)
\( = a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - a^3 + 3a^2 - 3a + 1 - 6a^2 \)
Групираме подобните членове:
\( = (a^3-a^3) + (3a^2+3a^2-6a^2) + (3a-3a) + (1+1) \)
\( = 0 + 0 + 0 + 2 = 2 \)
\((a+1)^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1\)
\((a-1)^3 = a^3 - 3a^2 + 3a - 1\)
Заместваме в израза:
\( (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) - (a^3 - 3a^2 + 3a - 1) - 6a^2 \)
\( = a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - a^3 + 3a^2 - 3a + 1 - 6a^2 \)
Групираме подобните членове:
\( = (a^3-a^3) + (3a^2+3a^2-6a^2) + (3a-3a) + (1+1) \)
\( = 0 + 0 + 0 + 2 = 2 \)
