Най-важното от урока
Цял израз: Няма променлива в знаменател.
Пример: \(5x + \dfrac{a}{2}\) е цял, \(\dfrac{5}{x}\) не е.
Числена стойност: Резултатът след заместване на променливите с числа.
Пример: за \(A=3x-1\), при \(x=4\), стойността е \(3 \cdot 4 - 1 = 11\).
Тъждествено равенство: Два израза, които са винаги равни. Пример: \(3(x+2)\) и \(3x+6\) са тъждествено равни.
Пример: \(5x + \dfrac{a}{2}\) е цял, \(\dfrac{5}{x}\) не е.
Числена стойност: Резултатът след заместване на променливите с числа.
Пример: за \(A=3x-1\), при \(x=4\), стойността е \(3 \cdot 4 - 1 = 11\).
Тъждествено равенство: Два израза, които са винаги равни. Пример: \(3(x+2)\) и \(3x+6\) са тъждествено равни.
Цял рационален израз е такъв израз, в който няма деление с променлива. Деление с число или параметър е позволено.
- \(A = 5x - 10\) и \(B = \frac{x+a}{3}\) са цели изрази, защото променливата \(x\) не е в знаменател.
- \(C = \frac{5}{x} + 2\) не е цял израз, защото има деление на променливата \(x\).
Кой от изразите е цял: \(M = 7y - \frac{a}{4}\) или \(N = \frac{7}{y} + a\)? (y е променлива, a е параметър)
Отговор: Изразът \(M\) е цял, защото в него няма деление на променливата \(y\). Изразът \(N\) не е цял, защото има деление на \(y\).
За да намерим числената стойност на един израз, трябва да заместим променливите в него с конкретни числа и да извършим означените действия.
Да се намери стойността на израза \(A = 2x^2 - 3y\) за \(x = -2\) и \(y = 4\).
Заместваме: \[ A = 2 \cdot (-2)^2 - 3 \cdot 4 \] \[ A = 2 \cdot 4 - 12 \] \[ A = 8 - 12 = -4 \]
Заместваме: \[ A = 2 \cdot (-2)^2 - 3 \cdot 4 \] \[ A = 2 \cdot 4 - 12 \] \[ A = 8 - 12 = -4 \]
Намерете числената стойност на израза \(B = 5a - 2b + 1\) за \(a=3\) и \(b=-1\).
\[ B = 5 \cdot 3 - 2 \cdot (-1) + 1 \]
\[ B = 15 - (-2) + 1 \]
\[ B = 15 + 2 + 1 = 18 \]
Отговор: \(18\).
Допустими стойности (ДС) са всички стойности, които променливите в един израз могат да приемат.
За целите рационални изрази, допустими стойности за променливите са всички рационални числа.
Ако обаче изразът има параметър в знаменател, то допустими стойности на този параметър са тези, при които знаменателят е различен от нула. Това е така, защото делението на нула е недефинирано в математиката.
При текстови задачи може да има допълнителни ограничения. Например, ако \(x\) са години, то \(x\) трябва да е положително число.
Какви са допустимите стойности за променливата \(z\) в израза \(C = z^3 - \frac{z}{5}\)?
Отговор: Тъй като изразът е цял (няма деление на променлива), допустими са всички рационални числа за \(z\).
Два израза се наричат тъждествено равни, ако за всички допустими стойности на променливите им, техните числени стойности са равни.
Изразите \(A = (x+1)^2\) и \(B = x^2+2x+1\) са тъждествено равни. Нека проверим за \(x=3\):
- \(A = (3+1)^2 = 4^2 = 16\)
- \(B = 3^2+2 \cdot 3+1 = 9+6+1 = 16\)
Тъждествено равни ли са изразите \(P = 2(x-3)\) и \(Q = 2x-6\)?
Отговор: Да. Като приложим разпределителното свойство върху \(P\), получаваме \(P = 2 \cdot x - 2 \cdot 3 = 2x - 6\), което е точно изразът \(Q\).
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете стойността на израза \(A = 10 - 4x\) при \(x=2\).
\(A = 10 - 4 \cdot 2 = 10 - 8 = 2\).
Отговор: \(2\).
Отговор: \(2\).
Средна: Пресметнете стойността на израза \(B = a^2 - 5ab\) при \(a=-1\) и \(b=2\).
\(B = (-1)^2 - 5 \cdot (-1) \cdot 2\)
\(B = 1 - (-10)\)
\(B = 1 + 10 = 11\).
Отговор: \(11\).
\(B = 1 - (-10)\)
\(B = 1 + 10 = 11\).
Отговор: \(11\).
Трудна: Намерете числената стойност на израза \(C = \frac{x-1}{3} - (x+1)\) при \(x = -4\).
\(C = \frac{-4-1}{3} - (-4+1)\)
\(C = \frac{-5}{3} - (-3)\)
\(C = -\frac{5}{3} + 3 = -\frac{5}{3} + \frac{9}{3} = \frac{4}{3}\).
Отговор: \(\frac{4}{3}\) или \(1\frac{1}{3}\).
\(C = \frac{-5}{3} - (-3)\)
\(C = -\frac{5}{3} + 3 = -\frac{5}{3} + \frac{9}{3} = \frac{4}{3}\).
Отговор: \(\frac{4}{3}\) или \(1\frac{1}{3}\).
