Най-важното от урока
Цел при решаване на уравнение: Да изолираме неизвестното \(x\) от едната страна на равенството.
Стъпки:
1. Опростяваме изразите от двете страни на уравнението (ако е нужно).
2. Прехвърляме всички членове с \(x\) вляво, а числата - вдясно (като сменяме знаците им). Пример: \(5x + 4 = 2x + 10 \implies 5x - 2x = 10 - 4\).
3. Извършваме действията: \(3x = 6\).
4. Делим на коефициента пред \(x\): \(x = 6 : 3 \implies x = 2\).
Стъпки:
1. Опростяваме изразите от двете страни на уравнението (ако е нужно).
2. Прехвърляме всички членове с \(x\) вляво, а числата - вдясно (като сменяме знаците им). Пример: \(5x + 4 = 2x + 10 \implies 5x - 2x = 10 - 4\).
3. Извършваме действията: \(3x = 6\).
4. Делим на коефициента пред \(x\): \(x = 6 : 3 \implies x = 2\).
Стойността на неизвестното в едно уравнение (коренът) не се променя, ако извършим едно и също действие (събиране, изваждане, умножение, деление с число, различно от 0) и от двете страни на равенството.
Ако \(a = b\), то:
- \( a + c = b + c \)
- \( a - c = b - c \)
- \( a \cdot c = b \cdot c \)
- \( a : c = b : c \) (при \(c \ne 0\))
Да решим уравнението \(x - 8 = 12\).
Прибавяме 8 към двете страни на равенството: \[ x - 8 + 8 = 12 + 8 \] \[ x = 20 \]
Прибавяме 8 към двете страни на равенството: \[ x - 8 + 8 = 12 + 8 \] \[ x = 20 \]
Какво действие трябва да се приложи към двете страни на уравнението \(5 \cdot x = 30\), за да се намери \(x\)?
Отговор: Трябва да разделим двете страни на 5. Получаваме \(x = 30 : 5\), т.е. \(x = 6\).
Всеки член на едно уравнение може да бъде прехвърлен от едната страна на равенството в другата, като се смени неговият знак с противоположния. Това е практическо следствие от свойствата на равенствата.
В уравнението \(4x + 7 = 19\), можем да прехвърлим \(+7\) отляво вдясно:
\[ 4x = 19 - 7 \]
\[ 4x = 12 \]
В уравнението \(5x = 10 + 2x\), можем да прехвърлим \(+2x\) отдясно вляво:
\[ 5x - 2x = 10 \]
\[ 3x = 10 \]
Прехвърлете членовете, съдържащи \(x\), вляво, а свободните членове (числата) вдясно в уравнението \(8x - 5 = 3x + 15\).
Отговор: \(8x - 3x = 15 + 5\).
Това е основен вид линейно уравнение, което се решава в две стъпки:
Прехвърляме свободния член \(b\) в дясната страна.
\[ a \cdot x = -b \]
Делим двете страни на коефициента \(a\) (при \(a \ne 0\)).
\[ x = -\frac{b}{a} \]
Да решим уравнението \(3x + 12 = 0\).
1. Прехвърляме 12: \(3x = -12\).
2. Делим на 3: \(x = \frac{-12}{3} \implies x = -4\).
1. Прехвърляме 12: \(3x = -12\).
2. Делим на 3: \(x = \frac{-12}{3} \implies x = -4\).
Решете уравнението \(5x - 20 = 0\).
\(5x = 20\)
\(x = \frac{20}{5}\)
Отговор: \(x = 4\).
\(x = \frac{20}{5}\)
Отговор: \(x = 4\).
Това е процесът на превръщане на текстова задача в математическо уравнение, което след това се решава.
Избираме неизвестно (\(x\)) – обикновено това, което се търси в задачата.
Изразяваме всички останали величини в задачата чрез \(x\).
Използваме условието на задачата, за да съставим уравнение.
Решаваме уравнението.
Проверяваме дали решението има смисъл и отговаряме на въпроса на задачата.
Задача: Намерете три последователни естествени числа със сбор 1371.
1. Неизвестно: Нека първото число е \(x\).
2. Други величини: Второто е \(x+1\), а третото е \(x+2\).
3. Уравнение: \(x + (x+1) + (x+2) = 1371\).
4. Решение: \(3x + 3 = 1371 \implies 3x = 1368 \implies x = 456\).
5. Отговор: Числата са 456, 457 и 458.
1. Неизвестно: Нека първото число е \(x\).
2. Други величини: Второто е \(x+1\), а третото е \(x+2\).
3. Уравнение: \(x + (x+1) + (x+2) = 1371\).
4. Решение: \(3x + 3 = 1371 \implies 3x = 1368 \implies x = 456\).
5. Отговор: Числата са 456, 457 и 458.
Едната страна на правоъгълник е с 5 см по-дълга от другата. Ако обиколката му е 38 см, съставете уравнение за намиране на страните.
Нека по-късата страна е \(x\) см. Тогава по-дългата е \(x+5\) см.
Обиколката е \(P = 2 \cdot (\text{дължина} + \text{ширина})\).
Уравнение: \(2 \cdot (x + x+5) = 38\).
Обиколката е \(P = 2 \cdot (\text{дължина} + \text{ширина})\).
Уравнение: \(2 \cdot (x + x+5) = 38\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(7x - 11 = 10\).
\(7x = 10 + 11\)
\(7x = 21\)
\(x = 21 : 7\)
Отговор: \(x = 3\).
\(7x = 21\)
\(x = 21 : 7\)
Отговор: \(x = 3\).
Средна: Решете уравнението \(9x - 8 = 5x + 12\).
\(9x - 5x = 12 + 8\)
\(4x = 20\)
\(x = 20 : 4\)
Отговор: \(x = 5\).
\(4x = 20\)
\(x = 20 : 4\)
Отговор: \(x = 5\).
Трудна: В един цветарски магазин има 120 лалета и рози. Лалетата са 3 пъти повече от розите. Намерете броя на всеки вид цветя.
Нека броят на розите е \(x\).
Тогава броят на лалетата е \(3x\).
Общият брой цветя е \(x + 3x\).
Съставяме уравнението: \(x + 3x = 120\).
\(4x = 120\)
\(x = 30\).
Отговор: Розите са 30, а лалетата са \(3 \cdot 30 = 90\).
Тогава броят на лалетата е \(3x\).
Общият брой цветя е \(x + 3x\).
Съставяме уравнението: \(x + 3x = 120\).
\(4x = 120\)
\(x = 30\).
Отговор: Розите са 30, а лалетата са \(3 \cdot 30 = 90\).
