131. Успоредник. Видове Успоредници

Нека страните на успоредника са \(a\) и \(b\). Формулата за периметър на успоредник е \(P = 2(a+b)\). Дадено е \(P = 54 \mathrm{~cm}\). \(2(a+b) = 54\) \(a+b = \frac{54}{2}\) \(a+b = 27 \mathrm{~cm}\)

а) една от страните е три пъти по-голяма от друга;

Нека едната страна е \(x\). Тогава другата страна е \(3x\). \(x + 3x = 27\) \(4x = 27\) \(x = \frac{27}{4}\) \(x = 6,75 \mathrm{~cm}\) Страните са \(6,75 \mathrm{~cm}\) и \(3 \cdot 6,75 = 20,25 \mathrm{~cm}\).

б) една от страните е с 20\% по-малка от друга;

Нека едната страна е \(x\). Тогава другата страна е \(x - 20\% \text{ от } x = x - 0,2x = 0,8x\). \(x + 0,8x = 27\) \(1,8x = 27\) \(x = \frac{27}{1,8}\) \(x = \frac{270}{18}\) \(x = \cancel{270}^{15} / \cancel{18}_1\) \(x = 15 \mathrm{~cm}\) Страните са \(15 \mathrm{~cm}\) и \(0,8 \cdot 15 = 12 \mathrm{~cm}\).

в) една от страните е с \( 40 \% \) по-голяма от друга.

Нека едната страна е \(x\). Тогава другата страна е \(x + 40\% \text{ от } x = x + 0,4x = 1,4x\). \(x + 1,4x = 27\) \(2,4x = 27\) \(x = \frac{27}{2,4}\) \(x = \frac{270}{24}\) \(x = \cancel{270}^{45} / \cancel{24}_4\) \(x = \frac{45}{4}\) \(x = 11,25 \mathrm{~cm}\) Страните са \(11,25 \mathrm{~cm}\) и \(1,4 \cdot 11,25 = 15,75 \mathrm{~cm}\).

За да намерим страните на успоредника, ще използваме формулата за периметър на успоредник. Нека страните на успоредника са \(a\) и \(b\). Периметърът на успоредника се изчислява по формулата \( P = 2 \cdot (a + b) \). Дадено е, че периметърът е \( 54 \mathrm{~cm} \), следователно \( 2 \cdot (a + b) = 54 \). Разделяме двете страни на 2, за да намерим сумата от две съседни страни: \( a + b = \frac{54}{2} \) \( a + b = 27 \mathrm{~cm} \). Сега ще разгледаме всяка от подточките.

а) една от страните е три пъти по-голяма от друга;

Стъпка 1: Дефиниране на страните чрез променлива

Нека едната страна е \( x \mathrm{~cm} \). По условие, другата страна е три пъти по-голяма, следователно е \( 3 \cdot x = 3x \mathrm{~cm} \). Ще приемем, че \( x > 0 \).

Стъпка 2: Записване на уравнението за периметъра

Знаем, че сумата от две съседни страни е \( 27 \mathrm{~cm} \). Страните са \( x \) и \( 3x \). Записваме уравнението: \( x + 3x = 27 \)

Стъпка 3: Решаване на уравнението за \( x \)

Обединяваме членовете с \( x \): \( 4x = 27 \) Разделяме двете страни на 4: \( x = \frac{27}{4} \) \( x = 6,75 \mathrm{~cm} \).

Стъпка 4: Намиране на дължините на страните

Едната страна е \( x \), така че \( a = 6,75 \mathrm{~cm} \). Другата страна е \( 3x \), така че \( b = 3 \cdot 6,75 \). \( b = 20,25 \mathrm{~cm} \). Проверка: \( a + b = 6,75 + 20,25 = 27 \mathrm{~cm} \). Периметър: \( 2 \cdot 27 = 54 \mathrm{~cm} \).

б) една от страните е с 20\% по-малка от друга;

Стъпка 1: Дефиниране на страните чрез променлива

Нека едната страна е \( x \mathrm{~cm} \). Другата страна е с 20\% по-малка от \( x \). Това означава, че тя е \( x - 20\% \text{ от } x \). Преобразуваме процентите в десетична дроб: \( 20\% = \frac{20}{100} = 0,20 \). Следователно, другата страна е \( x - 0,20 \cdot x = (1 - 0,20)x = 0,80x \mathrm{~cm} \). Отново, ще приемем, че \( x > 0 \).

Стъпка 2: Записване на уравнението за периметъра

Сумата от две съседни страни е \( 27 \mathrm{~cm} \). Страните са \( x \) и \( 0,80x \). Записваме уравнението: \( x + 0,80x = 27 \)

Стъпка 3: Решаване на уравнението за \( x \)

Обединяваме членовете с \( x \): \( (1 + 0,80)x = 27 \) \( 1,80x = 27 \) Разделяме двете страни на 1,80: \( x = \frac{27}{1,80} \) За да разделим, можем да умножим числителя и знаменателя по 100, за да премахнем десетичната запетая: \( x = \frac{27 \cdot 100}{1,80 \cdot 100} \) \( x = \frac{2700}{180} \) Съкращаваме нулите: \( x = \frac{270}{18} \) Можем да разделим 270 на 18. \( 270 \div 18 = 15 \). \( x = 15 \mathrm{~cm} \).

Стъпка 4: Намиране на дължините на страните

Едната страна е \( x \), така че \( a = 15 \mathrm{~cm} \). Другата страна е \( 0,80x \), така че \( b = 0,80 \cdot 15 \). \( b = 12 \mathrm{~cm} \). Проверка: \( a + b = 15 + 12 = 27 \mathrm{~cm} \). Периметър: \( 2 \cdot 27 = 54 \mathrm{~cm} \).

в) една от страните е с \( 40 \% \) по-голяма от друга.

Стъпка 1: Дефиниране на страните чрез променлива

Нека едната страна е \( x \mathrm{~cm} \). Другата страна е с 40\% по-голяма от \( x \). Това означава, че тя е \( x + 40\% \text{ от } x \). Преобразуваме процентите в десетична дроб: \( 40\% = \frac{40}{100} = 0,40 \). Следователно, другата страна е \( x + 0,40 \cdot x = (1 + 0,40)x = 1,40x \mathrm{~cm} \). Отново, ще приемем, че \( x > 0 \).

Стъпка 2: Записване на уравнението за периметъра

Сумата от две съседни страни е \( 27 \mathrm{~cm} \). Страните са \( x \) и \( 1,40x \). Записваме уравнението: \( x + 1,40x = 27 \)

Стъпка 3: Решаване на уравнението за \( x \)

Обединяваме членовете с \( x \): \( (1 + 1,40)x = 27 \) \( 2,40x = 27 \) Разделяме двете страни на 2,40: \( x = \frac{27}{2,40} \) За да разделим, можем да умножим числителя и знаменателя по 100: \( x = \frac{27 \cdot 100}{2,40 \cdot 100} \) \( x = \frac{2700}{240} \) Съкращаваме нулите: \( x = \frac{270}{24} \) Можем да съкратим дробта. 270 и 24 се делят на 6. \( 270 \div 6 = 45 \) \( 24 \div 6 = 4 \) \( x = \frac{45}{4} \) Можем да преобразуваме в десетична дроб: \( x = 11,25 \mathrm{~cm} \).

Стъпка 4: Намиране на дължините на страните

Едната страна е \( x \), така че \( a = 11,25 \mathrm{~cm} \). Другата страна е \( 1,40x \), така че \( b = 1,40 \cdot 11,25 \). \( b = 15,75 \mathrm{~cm} \). Проверка: \( a + b = 11,25 + 15,75 = 27,00 \mathrm{~cm} \). Периметър: \( 2 \cdot 27 = 54 \mathrm{~cm} \).