Най-важното от урока
Построяване на успоредник: Основната идея е да се раздели успоредникът на два еднакви триъгълника чрез диагонал и да се построят те.
Метод 1 (по две страни \(a, b\) и ъгъл \(\alpha\)): Построяваме \(\triangle ABD\) по две страни и ъгъл между тях. Условие: \(0^\circ < \alpha < 180^\circ\).
Метод 2 (по две страни \(a, b\) и диагонал \(d\)): Построяваме \(\triangle ABD\) по три страни. Условие: страните трябва да изпълняват неравенствата на триъгълника (\(a+b > d\) и т.н.).
Приложение: Тези методи позволяват построяването на успоредна права на дадена права през точка извън нея.
Метод 1 (по две страни \(a, b\) и ъгъл \(\alpha\)): Построяваме \(\triangle ABD\) по две страни и ъгъл между тях. Условие: \(0^\circ < \alpha < 180^\circ\).
Метод 2 (по две страни \(a, b\) и диагонал \(d\)): Построяваме \(\triangle ABD\) по три страни. Условие: страните трябва да изпълняват неравенствата на триъгълника (\(a+b > d\) и т.н.).
Приложение: Тези методи позволяват построяването на успоредна права на дадена права през точка извън нея.
Успоредник може да се построи, ако са известни дължините на две негови съседни страни (\(a\) и \(b\)) и ъгълът (\(\alpha\)), който те сключват. Построението се свежда до построяване на триъгълник по две страни и ъгъл между тях, след което се намира четвъртият връх.
Стъпки на построението:
- Начертава се лъч и върху него се нанася отсечка \(AB = a\).
- При връх A се построява ъгъл \(\alpha\).
- Върху второто рамо на ъгъла се нанася отсечка \(AD = b\).
- С център D и радиус \(a\) се чертае дъга.
- С център B и радиус \(b\) се чертае втора дъга.
- Пресечната точка на двете дъги е търсеният връх C.
Какво е необходимото условие за ъгъл \(\alpha\), за да бъде възможно построението?
За да съществува триъгълник, ъгълът \(\alpha\) трябва да е по-голям от \(0^\circ\) и по-малък от \(180^\circ\).
Успоредник може да се построи, ако са известни дължините на две негови съседни страни (\(a\) и \(b\)) и един от диагоналите му (\(d\)). Построението използва факта, че диагоналът разделя успоредника на два еднакви триъгълника.
Стъпки на построението (ако \(d\) е диагоналът \(BD\)):
- Построява се \(\triangle ABD\) по дадени три страни: \(AB=a\), \(AD=b\) и \(BD=d\).
- С център D и радиус \(a\) се чертае дъга.
- С център B и радиус \(b\) се чертае втора дъга.
- Пресечната точка на двете дъги е търсеният връх C.
Какво е необходимото условие за дължините на страните \(a\), \(b\) и диагонала \(d\), за да е възможно построението?
Отсечките \(a\), \(b\) и \(d\) трябва да могат да образуват триъгълник, т.е. да изпълняват неравенствата на триъгълника: \(a+b>d\), \(a+d>b\) и \(b+d>a\).
Умението да се построява успоредник ни позволява да построим права, успоредна на дадена права, която минава през точка, нележаща на правата.
Стъпки за построяване на права \(b \parallel a\) през точка \(M\):
- Избираме две произволни точки A и B върху правата \(a\).
- Разглеждаме A, B и M като три върха на успоредник (напр. ABDM).
- Построяваме четвъртия връх D с помощта на пергел, така че \(MD = AB\) и \(BD = AM\).
- Правата, минаваща през M и D, е търсената права \(b\).
Защо в описания пример правата \(MD\) е успоредна на правата \(a\)?
Понеже четириъгълникът ABDM е построен като успоредник, неговите срещуположни страни са успоредни. Следователно страната \(MD\) е успоредна на страната \(AB\), която лежи на правата \(a\).
Задачи за упражнение
Лесна: Опишете стъпките за построяване на ромб (който е вид успоредник) по дадена страна \(a\) и ъгъл \(\alpha\).
Построението е същото като за успоредник по две страни и ъгъл, но тук двете съседни страни са равни (\(a=b\)).
1. Начертава се отсечка \(AB = a\).
2. При връх А се построява ъгъл \(\alpha\).
3. Върху другото рамо се нанася отсечка \(AD = a\).
4. От B и D се чертаят дъги с радиус \(a\). Пресечната им точка е връх C.
1. Начертава се отсечка \(AB = a\).
2. При връх А се построява ъгъл \(\alpha\).
3. Върху другото рамо се нанася отсечка \(AD = a\).
4. От B и D се чертаят дъги с радиус \(a\). Пресечната им точка е връх C.
Средна: Дадени са отсечки с дължини 4 cm, 5 cm и 10 cm. Може ли да се построи успоредник с такива две съседни страни и диагонал? Обосновете се.
Не може. За да е възможно построението, отсечките трябва да изпълняват неравенството на триъгълника. Проверяваме: \(4 + 5 = 9\), което е по-малко от 10. Тъй като \(4+5 \ngtr 10\), такъв триъгълник (а оттам и успоредник) не може да се построи.
Трудна: Даден е \(\triangle ABC\). Като използвате само линийка и пергел, постройте точка D, така че четириъгълникът ABDC да е успоредник.
Трябва да намерим четвъртия връх D, като A, B и C са дадени. В успоредника ABDC страните са \(AB \parallel CD\) и \(AC \parallel BD\).
1. С пергела измерваме дължината на страната \(AC\).
2. Забиваме пергела в точка B и чертаем дъга с радиус, равен на \(AC\).
3. Измерваме дължината на страната \(AB\).
4. Забиваме пергела в точка C и чертаем дъга с радиус, равен на \(AB\).
5. Пресечната точка на двете дъги е търсената точка D.
1. С пергела измерваме дължината на страната \(AC\).
2. Забиваме пергела в точка B и чертаем дъга с радиус, равен на \(AC\).
3. Измерваме дължината на страната \(AB\).
4. Забиваме пергела в точка C и чертаем дъга с радиус, равен на \(AB\).
5. Пресечната точка на двете дъги е търсената точка D.
