Най-важното от урока
Линейни неравенства: Решават се като уравнения, но при умножение/деление с отрицателно число знакът се обръща. Пример: \(-3x < 9 \Leftrightarrow x > -3\).
Решения: Представят се с интервал. \(x \ge 5\) е \(x \in [5, +\infty)\); \(x < 2\) е \(x \in (-\infty, 2)\).
Специални случаи: Ако \(x\) изчезне, гледаме остатъка. \(5 > 2\) (вярно) \(\Rightarrow\) всяко \(x\) е решение. \(-1 > 3\) (невярно) \(\Rightarrow\) няма решение.
Неравенства в триъгълника: 1) Срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна (и обратно). 2) Сборът на две страни е винаги по-голям от третата (\(a+b>c\)).
Решения: Представят се с интервал. \(x \ge 5\) е \(x \in [5, +\infty)\); \(x < 2\) е \(x \in (-\infty, 2)\).
Специални случаи: Ако \(x\) изчезне, гледаме остатъка. \(5 > 2\) (вярно) \(\Rightarrow\) всяко \(x\) е решение. \(-1 > 3\) (невярно) \(\Rightarrow\) няма решение.
Неравенства в триъгълника: 1) Срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна (и обратно). 2) Сборът на две страни е винаги по-голям от третата (\(a+b>c\)).
Числовите неравенства показват връзката между две числа (<, >, ≤, ≥). Основните им свойства позволяват преобразуването им.
Правило 1: Можем да прибавяме или изваждаме едно и също число от двете страни на неравенството, без да променяме знака му.
Правило 2: Можем да умножаваме или делим двете страни с положително число, без да променяме знака.
Правило 3: Ако умножим или разделим двете страни с отрицателно число, задължително обръщаме знака на неравенството.
Дадено е неравенството \(6 > 2\).
- Прибавяне на 3: \(6+3 > 2+3 \Rightarrow 9 > 5\) (вярно)
- Деление на 2 (положително): \(\frac{6}{2} > \frac{2}{2} \Rightarrow 3 > 1\) (вярно)
- Умножение с -1 (отрицателно): \(6 \cdot (-1) < 2 \cdot (-1) \Rightarrow -6 < -2\) (вярно, знакът е обърнат)
Ако е известно, че \(a > b\), каква е връзката между \(-4a\) и \(-4b\)?
Тъй като умножаваме двете страни на неравенството с отрицателното число -4, трябва да обърнем знака.
Отговор: \(-4a < -4b\).
Отговор: \(-4a < -4b\).
Да се реши неравенство означава да се намерят всички стойности на неизвестното, за които то е вярно. Процесът е подобен на решаването на уравнения, като се спазват свойствата на неравенствата.
Разкриват се скобите и се извършват тъждествени преобразувания.
Членовете, съдържащи неизвестното, се прехвърлят в едната страна, а свободните членове - в другата.
Полученото неравенство се свежда до вида \(ax > b\), \(ax < b\), \(ax \ge b\) или \(ax \le b\).
Двете страни се делят на коефициента пред \(x\), като се внимава за знака му.
Решете неравенството \(5(x-1) > 2x-11\).
\(5x - 5 > 2x - 11\) (разкриваме скобите)
\(5x - 2x > -11 + 5\) (прехвърляме членове)
\(3x > -6\) (опростяваме)
\(x > \frac{-6}{3}\) (делим на 3, което е > 0)
\(x > -2\)
\(5x - 5 > 2x - 11\) (разкриваме скобите)
\(5x - 2x > -11 + 5\) (прехвърляме членове)
\(3x > -6\) (опростяваме)
\(x > \frac{-6}{3}\) (делим на 3, което е > 0)
\(x > -2\)
Решете неравенството \((x-3)^2 \le x(x-8)\).
\(x^2 - 6x + 9 \le x^2 - 8x\)
\(-6x + 9 \le -8x\)
\(-6x + 8x \le -9\)
\(2x \le -9\)
Отговор: \(x \le -4.5\)
\(-6x + 9 \le -8x\)
\(-6x + 8x \le -9\)
\(2x \le -9\)
Отговор: \(x \le -4.5\)
Решенията на неравенствата са множества от числа и могат да се представят по три начина: чрез неравенство, графично върху числова ос или с числов интервал.
- Строги неравенства (<, >): Крайната точка не е включена в интервала. Използват се обикновени скоби `()` и празно кръгче на оста.
- Нестроги неравенства (≤, ≥): Крайната точка е включена в интервала. Използват се квадратни скоби `[]` и плътно кръгче на оста.
Решението \(x \ge -3\) се представя:
- Графично:
- С интервал: \(x \in [-3; +\infty)\)
Представете графично и с интервал решението на неравенството \(x < 4\).
- Графично:
- С интервал: \(x \in (-\infty; 4)\)
Понякога при решаване на неравенство неизвестното \(x\) се унищожава и се получава числово неравенство от вида \(0 \cdot x > b\).
- Ако полученото числово неравенство е вярно (напр. \(0 < 5\)), то всяко число е решение.
- Ако полученото числово неравенство е невярно (напр. \(0 > 5\)), то неравенството няма решение.
Решете неравенството \(3(2x-1) > 6x+7\).
\(6x - 3 > 6x + 7\)
\(6x - 6x > 7 + 3\)
\(0x > 10 \Rightarrow 0 > 10\). Това е невярно твърдение.
Извод: Неравенството няма решение.
\(6x - 3 > 6x + 7\)
\(6x - 6x > 7 + 3\)
\(0x > 10 \Rightarrow 0 > 10\). Това е невярно твърдение.
Извод: Неравенството няма решение.
Решете неравенството \( (x+1)^2 \ge x(x+2)\).
\(x^2+2x+1 \ge x^2+2x\)
\(1 \ge 0\). Това е вярно твърдение.
Отговор: Всяко число е решение, \(x \in (-\infty; +\infty)\).
\(1 \ge 0\). Това е вярно твърдение.
Отговор: Всяко число е решение, \(x \in (-\infty; +\infty)\).
В един триъгълник срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл.
В един триъгълник срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна.
Страните на \(\triangle ABC\) са \(a=8\) см, \(b=5\) см и \(c=10\) см. Подредете ъглите му по големина.
Страните, подредени по големина, са \(b < a < c\) (\(5 < 8 < 10\)).
Срещу тях лежат съответно ъглите \(\angle B\), \(\angle A\), \(\angle C\).
Отговор: \(\angle B < \angle A < \angle C\).
Срещу тях лежат съответно ъглите \(\angle B\), \(\angle A\), \(\angle C\).
Отговор: \(\angle B < \angle A < \angle C\).
Правило 1: Сборът на кои да е две страни на един триъгълник е винаги по-голям от третата страна.
\[ a+b > c, \quad a+c > b, \quad b+c > a \]Правило 2: Всяка страна в триъгълника е по-голяма от разликата на другите две.
\[ a > |b-c|, \quad b > |a-c|, \quad c > |a-b| \]При проверка дали три отсечки могат да образуват триъгълник е достатъчно да се провери дали сборът на двете по-малки е по-голям от най-голямата.
Съществува ли триъгълник със страни 4 см, 6 см и 11 см?
Проверяваме дали сборът на двете по-малки е по-голям от най-голямата:
\(4 + 6 > 11 \Rightarrow 10 > 11\). Това е невярно.
Отговор: Такъв триъгълник не съществува.
Проверяваме дали сборът на двете по-малки е по-голям от най-голямата:
\(4 + 6 > 11 \Rightarrow 10 > 11\). Това е невярно.
Отговор: Такъв триъгълник не съществува.
Две от страните на триъгълник са 5 см и 8 см. Намерете възможните цели стойности за дължината на третата страна.
Нека третата страна е \(c\).
Трябва да са изпълнени неравенствата \(c < a+b\) и \(c > |a-b|\).
\(c < 5+8 \Rightarrow c < 13\)
\(c > |8-5| \Rightarrow c > 3\)
Следователно \(3 < c < 13\).
Отговор: Възможните цели стойности за \(c\) са 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Трябва да са изпълнени неравенствата \(c < a+b\) и \(c > |a-b|\).
\(c < 5+8 \Rightarrow c < 13\)
\(c > |8-5| \Rightarrow c > 3\)
Следователно \(3 < c < 13\).
Отговор: Възможните цели стойности за \(c\) са 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Задачи за упражнение
Лесна: Решете неравенството \(\frac{x}{2} - 1 \ge \frac{x}{3}\) и представете решението му с интервал.
Умножаваме по НОК(2,3) = 6:
\(6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot 1 \ge 6 \cdot \frac{x}{3}\)
\(3x - 6 \ge 2x\)
\(3x - 2x \ge 6\)
\(x \ge 6\)
Отговор: \(x \in [6, +\infty)\)
\(6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot 1 \ge 6 \cdot \frac{x}{3}\)
\(3x - 6 \ge 2x\)
\(3x - 2x \ge 6\)
\(x \ge 6\)
Отговор: \(x \in [6, +\infty)\)
Средна: Намерете най-голямото цяло число, което е решение на неравенството:
\[ (x-2)^2-x(x-3) \le \frac{x-1}{2} \]
\(x^2 - 4x + 4 - x^2 + 3x \le \frac{x-1}{2}\)
\(-x + 4 \le \frac{x-1}{2}\)
Умножаваме по 2:
\(2(-x+4) \le x-1\)
\(-2x + 8 \le x-1\)
\(8+1 \le x+2x\)
\(9 \le 3x\)
\(3 \le x\) или \(x \ge 3\).
Решенията са всички числа, по-големи или равни на 3. В условието е допусната грешка - няма "най-голямо цяло число", което да е решение. Ако въпросът беше "Намерете най-малкото цяло число", отговорът щеше да е 3.
(Ако неравенството беше \(x \le 3\), най-голямото цяло число щеше да е 3).
Отговор: (Приемаме, че въпросът е за най-малкото цяло число) Най-малкото цяло число, което е решение, е 3.
\(-x + 4 \le \frac{x-1}{2}\)
Умножаваме по 2:
\(2(-x+4) \le x-1\)
\(-2x + 8 \le x-1\)
\(8+1 \le x+2x\)
\(9 \le 3x\)
\(3 \le x\) или \(x \ge 3\).
Решенията са всички числа, по-големи или равни на 3. В условието е допусната грешка - няма "най-голямо цяло число", което да е решение. Ако въпросът беше "Намерете най-малкото цяло число", отговорът щеше да е 3.
(Ако неравенството беше \(x \le 3\), най-голямото цяло число щеше да е 3).
Отговор: (Приемаме, че въпросът е за най-малкото цяло число) Най-малкото цяло число, което е решение, е 3.
Трудна: В състезание се дават 12 задачи. За всяка вярно решена задача се дават 4 точки, а за всяка сгрешена се отнемат 2 точки. Колко задачи най-малко трябва да се решат вярно, за да се получи награда, ако наградените са събрали не по-малко от 35 точки?
Нека \(x\) е броят на вярно решените задачи. Тогава \(12-x\) е броят на сгрешените.
Точките се изчисляват така: \(4x - 2(12-x)\).
Трябва точките да са "не по-малко от 35", т.е. \(\ge 35\).
\(4x - 2(12-x) \ge 35\)
\(4x - 24 + 2x \ge 35\)
\(6x \ge 35 + 24\)
\(6x \ge 59\)
\(x \ge \frac{59}{6}\)
\(x \ge 9.833...\)
Тъй като броят на задачите \(x\) трябва да е цяло число, най-малкото цяло число, удовлетворяващо \(x \ge 9.833...\), е 10.
Отговор: Най-малко 10 задачи.
Точките се изчисляват така: \(4x - 2(12-x)\).
Трябва точките да са "не по-малко от 35", т.е. \(\ge 35\).
\(4x - 2(12-x) \ge 35\)
\(4x - 24 + 2x \ge 35\)
\(6x \ge 35 + 24\)
\(6x \ge 59\)
\(x \ge \frac{59}{6}\)
\(x \ge 9.833...\)
Тъй като броят на задачите \(x\) трябва да е цяло число, най-малкото цяло число, удовлетворяващо \(x \ge 9.833...\), е 10.
Отговор: Най-малко 10 задачи.
