68. Окръжност Обобщение

Начертайте хоризонтална отсечка \( AB \). Изградете окръжност, за която отсечката \( AB \) е диаметър. Отбележете центъра на окръжността като \( O \) (средата на \( AB \)). Върху горната полуокръжност (над отсечката \( AB \)) отбележете две различни точки \( C \) и \( D \). Разположете точка \( D \) между \( A \) и \( C \) по дъгата, така че \( D \) е по-близо до \( A \), а \( C \) е по-близо до \( B \). Свържете точките с отсечки \( AD, DC, CB, BA \) за да образувате вписания четириъгълник \( ABCD \). Начертайте диагоналите \( AC \) и \( BD \). При върховете \( C \) и \( D \), отбележете правите ъгли \( \angle ACB \) и \( \angle ADB \) със стандартни квадратни символи, като се уверите, че отсечките \( AC, CB \) формират \( \angle ACB \), а отсечките \( AD, DB \) формират \( \angle ADB \).

Анализ на даденото и връзка с окръжност

По условие имаме четириъгълник \( ABCD \), в който два от ъглите са прави: \[ \angle ACB = 90^\circ \] \[ \angle ADB = 90^\circ \] Разглеждаме отсечката \( AB \). Точките \( C \) и \( D \) лежат в една и съща полуравнина спрямо правата \( AB \) (тъй като образуват изпъкнал четириъгълник). И двете точки "виждат" отсечката \( AB \) под прав ъгъл. От изученото за геометрично място на точки (ГМТ) знаем, че множеството от точки, от които дадена отсечка се вижда под прав ъгъл, е окръжност, за която тази отсечка е диаметър. Следователно точките \( C \) и \( D \) лежат на окръжност с диаметър \( AB \). Това означава, че около четириъгълника \( ABCD \) може да се опише окръжност (той е вписан).

Доказване на първото равенство

Щом точките \( A, B, C \) и \( D \) лежат на една окръжност, можем да използваме свойствата на вписаните ъгли. Вписаният ъгъл се измерва с половината от дъгата, която сключва раменете му. Разглеждаме ъглите \( \angle CAD \) и \( \angle CBD \). Ъгъл \( \angle CAD \) е вписан и се опира на дъгата \( \overset{\frown}{CD} \): \[ \angle CAD = \frac{1}{2} \overset{\frown}{CD} \] Ъгъл \( \angle CBD \) също е вписан и се опира на същата дъга \( \overset{\frown}{CD} \): \[ \angle CBD = \frac{1}{2} \overset{\frown}{CD} \] Тъй като десните страни на двете равенства са еднакви, следва че: \[ \angle CAD = \angle CBD \]

Доказване на второто равенство

По аналогичен начин разглеждаме втората двойка ъгли: \( \angle ABD \) и \( \angle ACD \). Ъгъл \( \angle ABD \) е вписан и се опира на дъгата \( \overset{\frown}{AD} \): \[ \angle ABD = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AD} \] Ъгъл \( \angle ACD \) е вписан и също се опира на дъгата \( \overset{\frown}{AD} \): \[ \angle ACD = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AD} \] Тъй като и двата ъгъла се измерват с половината от една и съща дъга, те са равни: \[ \angle ABD = \angle ACD \] С това и двете твърдения са доказани.

\[ \angle ACB = \angle ADB = 90^\circ \Rightarrow C, D \in k \] (ГМТ, окръжност с диаметър \( AB \)) \[ \Rightarrow ABCD \] е вписан четириъгълник. \[ \angle CAD = \frac{1}{2} \overset{\frown}{CD} = \angle CBD \] \[ \angle ABD = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AD} = \angle ACD \]