Най-важното от урока
Метод на разлагане: Свеждаме уравнението до вид \(A \cdot B \cdot C = 0\), след което решаваме \(A=0\), \(B=0\), \(C=0\). Пример: \(x^3-x=0 \Rightarrow x(x^2-1)=0 \Rightarrow x=0\) или \(x^2-1=0\).
Метод на полагане: Заместваме повтарящ се израз с нова променлива. Пример: в \((x^2+x)^2 - 3(x^2+x) + 2 = 0\), полагаме \(y=x^2+x\), за да получим \(y^2-3y+2=0\).
Метод на полагане: Заместваме повтарящ се израз с нова променлива. Пример: в \((x^2+x)^2 - 3(x^2+x) + 2 = 0\), полагаме \(y=x^2+x\), за да получим \(y^2-3y+2=0\).
Този метод се състои в представяне на едната страна на уравнението (обикновено лявата) като произведение от множители, докато другата е 0. След това всеки множител се приравнява на нула и се намират корените.
Ако \(A \cdot B = 0\), тогава \(A = 0\) или \(B = 0\).
Да решим уравнението \(x^3 + 3x^2 - 4x = 0\).
Изнасяме общ множител \(x\):
\[ x(x^2 + 3x - 4) = 0 \]
Приравняваме всеки множител на нула:
- \(x_1 = 0\)
- \(x^2 + 3x - 4 = 0\)
Решаваме квадратното уравнение \(x^2 + 3x - 4 = 0\), чиито корени са \(x_2 = 1\) и \(x_3 = -4\).
Корените на първоначалното уравнение са \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = -4\).
Решете уравнението \(x^3 - 9x = 0\) чрез разлагане.
1. Изнасяме \(x\) пред скоби: \(x(x^2 - 9) = 0\).
2. Разлагаме \(x^2-9\) по формулата \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\): \(x(x-3)(x+3) = 0\).
3. Корените са \(x_1=0\), \(x_2=3\), \(x_3=-3\).
2. Разлагаме \(x^2-9\) по формулата \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\): \(x(x-3)(x+3) = 0\).
3. Корените са \(x_1=0\), \(x_2=3\), \(x_3=-3\).
Този метод се използва, когато в уравнението има повтарящ се израз. Този израз се замества с нова променлива, уравнението се решава спрямо нея и след това се връщаме към първоначалното неизвестно.
Да решим уравнението \((x^2-2x)^2 - 11(x^2-2x) + 24 = 0\).
Полагаме повтарящия се израз \(x^2-2x\) с нова променлива \(y\):
\[ y = x^2-2x \]
Уравнението става: \(y^2 - 11y + 24 = 0\).
Решаваме квадратното уравнение за \(y\). Корените са \(y_1 = 3\) и \(y_2 = 8\).
Връщаме се към полагането и решаваме две нови уравнения за \(x\):
- При \(y_1 = 3\): \(x^2-2x = 3 \Rightarrow x^2-2x-3 = 0\), с корени \(x_1=3, x_2=-1\).
- При \(y_2 = 8\): \(x^2-2x = 8 \Rightarrow x^2-2x-8 = 0\), с корени \(x_3=4, x_4=-2\).
Корените на първоначалното уравнение са \(-2, -1, 3, 4\).
Решете уравнението \((x^2+1)^2 - 7(x^2+1) + 10 = 0\) чрез полагане.
1. Полагаме \(y = x^2+1\). Уравнението става \(y^2 - 7y + 10 = 0\).
2. Корените за \(y\) са \(y_1=5\) и \(y_2=2\).
3. Връщаме се към \(x\):
2. Корените за \(y\) са \(y_1=5\) и \(y_2=2\).
3. Връщаме се към \(x\):
- \(x^2+1=5 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x_{1,2}=\pm 2\).
- \(x^2+1=2 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x_{3,4}=\pm 1\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(x^3 - 49x = 0\).
Изнасяме \(x\) пред скоби: \(x(x^2-49)=0\).
Оттук \(x_1=0\) или \(x^2-49=0 \Rightarrow x^2=49 \Rightarrow x_{2,3}=\pm 7\).
Корени: \(0, 7, -7\).
Оттук \(x_1=0\) или \(x^2-49=0 \Rightarrow x^2=49 \Rightarrow x_{2,3}=\pm 7\).
Корени: \(0, 7, -7\).
Средна: Решете уравнението \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\).
Полагаме \(y=x^2\). Уравнението става \(y^2 - 5y + 4 = 0\).
Корените за \(y\) са \(y_1=4\) и \(y_2=1\).
Връщаме се към \(x\):
Корените за \(y\) са \(y_1=4\) и \(y_2=1\).
Връщаме се към \(x\):
- \(x^2=4 \Rightarrow x_{1,2}=\pm 2\).
- \(x^2=1 \Rightarrow x_{3,4}=\pm 1\).
Трудна: Решете уравнението \((x^2+3x-2)^2 + 6(x^2+3x-2) - 16 = 0\).
Полагаме \(y = x^2+3x-2\). Уравнението става \(y^2+6y-16=0\).
Корените за \(y\) са \(y_1=2\) и \(y_2=-8\).
Връщаме се към \(x\):
Корените за \(y\) са \(y_1=2\) и \(y_2=-8\).
Връщаме се към \(x\):
- За \(y_1=2\): \(x^2+3x-2 = 2 \Rightarrow x^2+3x-4 = 0\). Корените са \(x_1=1, x_2=-4\).
- За \(y_2=-8\): \(x^2+3x-2 = -8 \Rightarrow x^2+3x+6 = 0\). Дискриминантата е \(D=9-24=-15 < 0\), следователно това уравнение няма реални корени.
