Най-важното от урока
Основно свойство: Можем да умножаваме или делим числителя и знаменателя с един и същ израз (\(\neq 0\)), без да променяме стойността на дробта.
Съкращаване: Разложи на множители числителя и знаменателя, след което премахни еднаквите множители. Пример: \( \frac{a(a-1)}{b(a-1)} = \frac{a}{b} \).
Разширяване: Умножи числителя и знаменателя с подходящ израз, за да получиш нов знаменател. Пример: \( \frac{5}{x} = \frac{5(x+1)}{x(x+1)} \).
Допустими стойности (ДС): Винаги проверявай за кои стойности на променливите знаменателите са различни от нула.
Съкращаване: Разложи на множители числителя и знаменателя, след което премахни еднаквите множители. Пример: \( \frac{a(a-1)}{b(a-1)} = \frac{a}{b} \).
Разширяване: Умножи числителя и знаменателя с подходящ израз, за да получиш нов знаменател. Пример: \( \frac{5}{x} = \frac{5(x+1)}{x(x+1)} \).
Допустими стойности (ДС): Винаги проверявай за кои стойности на променливите знаменателите са различни от нула.
Ако числителя и знаменателя на една рационална дроб умножим или разделим с един и същ израз, различен от нула, получената дроб е тъждествено равна на дадената.
\[ \frac{u}{v} = \frac{u \cdot w}{v \cdot w} \quad \text{и} \quad \frac{u \cdot w}{v \cdot w} = \frac{u}{v} \]
При условие, че \(v \neq 0\) и \(w \neq 0\).
Винаги трябва да се съобразяваме с допустимите стойности (ДС) - стойностите, за които знаменателите не стават нула.
Дробта \( \frac{x-1}{x-2} \) е равна на \( \frac{(x-1)x}{(x-2)x} \) за всички стойности на \(x\), за които \( x \neq 2 \) (знаменателят на първата дроб) и \( x \neq 0 \) (изразът, с който разширяваме).
Равни ли са дробите \( \frac{5}{a} \) и \( \frac{5(a-1)}{a(a-1)} \)? Посочете допустимите стойности.
Отговор: Да, дробите са тъждествено равни. Допустимите стойности са \( a \neq 0 \) и \( a \neq 1 \).
Съкращаване е процес на деление на числителя и знаменателя на дробта с техен общ множител, различен от нула. За целта първо ги разлагаме на множители.
Да съкратим дробта \( \frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2} \):
Използваме формулите за съкратено умножение:
\( x^2-y^2 = (x-y)(x+y) \)
\( x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2 \)
\( x^2-y^2 = (x-y)(x+y) \)
\( x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2 \)
\[ \frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)(x+y)} = \frac{x-y}{x+y} \]
Знаменателят \(x+y \neq 0\), следователно \(x \neq -y\).
Съкратете дробта \( \frac{a^2-4}{a^2-2a} \).
\[ \frac{a^2-4}{a^2-2a} = \frac{(a-2)(a+2)}{a(a-2)} = \frac{a+2}{a} \]
ДС: \( a \neq 0 \) и \( a \neq 2 \).
Разширяване е процес на умножаване на числителя и знаменателя на една дроб с един и същ израз, различен от нула. Това се прави най-често за привеждане на дроби към общ знаменател.
Да разширим дробта \( \frac{3}{x} \) до знаменател \( x^2-2x \):
\( x^2-2x = x(x-2) \)
За да получим от \(x\) новия знаменател \(x(x-2)\), трябва да умножим с \( (x-2) \).
\[ \frac{3}{x} = \frac{3 \cdot (x-2)}{x \cdot (x-2)} = \frac{3x-6}{x^2-2x} \]
\( x \neq 0 \) и \( x \neq 2 \).
Приведете дробта \( \frac{y}{y+1} \) към знаменател \( y^2+y \).
Новият знаменател е \( y^2+y = y(y+1) \). Трябва да умножим числителя и знаменателя с \(y\).
\[ \frac{y \cdot y}{(y+1) \cdot y} = \frac{y^2}{y^2+y} \]
ДС: \( y \neq 0 \) и \( y \neq -1 \).
Задачи за упражнение
Лесна: Съкратете дробта \( \frac{7x-14}{3x-6} \).
\[ \frac{7(x-2)}{3(x-2)} = \frac{7}{3} \]
ДС: \( x \neq 2 \).
Средна: Съкратете дробта \( A = \frac{y^2+y-6}{y^2-4} \) и пресметнете стойността ѝ при \(y=3\).
Разлагаме числителя: \( y^2+y-6 = (y+3)(y-2) \).
Разлагаме знаменателя: \( y^2-4 = (y-2)(y+2) \).
Съкращаваме: \( A = \frac{(y+3)(y-2)}{(y-2)(y+2)} = \frac{y+3}{y+2} \). ДС: \( y \neq 2, y \neq -2 \).
Заместваме с \(y=3\): \( A = \frac{3+3}{3+2} = \frac{6}{5} \).
Разлагаме знаменателя: \( y^2-4 = (y-2)(y+2) \).
Съкращаваме: \( A = \frac{(y+3)(y-2)}{(y-2)(y+2)} = \frac{y+3}{y+2} \). ДС: \( y \neq 2, y \neq -2 \).
Заместваме с \(y=3\): \( A = \frac{3+3}{3+2} = \frac{6}{5} \).
Трудна: Докажете тъждеството \( \frac{x^3 - 4x}{x^2 + 5x + 6} = \frac{x^2 - 2x}{x+3} \).
Опростяваме лявата страна на равенството:
Числител: \( x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2) \)
Знаменател: \( x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3) \)
Дробта става: \( \frac{x(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \frac{x(x-2)}{x+3} = \frac{x^2-2x}{x+3} \).
Лявата страна е равна на дясната. Тъждеството е доказано при ДС: \( x \neq -2, x \neq -3 \).
Числител: \( x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2) \)
Знаменател: \( x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3) \)
Дробта става: \( \frac{x(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \frac{x(x-2)}{x+3} = \frac{x^2-2x}{x+3} \).
Лявата страна е равна на дясната. Тъждеството е доказано при ДС: \( x \neq -2, x \neq -3 \).
