96. Ротация

Начертайте квадрат ABCD, като означите върховете му последователно обратно на часовниковата стрелка: A (долу вляво), B (долу вдясно), C (горе вдясно) и D (горе вляво). Начертайте диагоналите AC и BD, които се пресичат в точка O. Точка O е център на квадрата. Отбележете, че диагоналите са перпендикулярни, като маркирате четирите прави ъгъла при пресичането в точка O: \(\angle AOB = 90^\circ\), \(\angle BOC = 90^\circ\), \(\angle COD = 90^\circ\) и \(\angle DOA = 90^\circ\). Добавете, че разстоянията от центъра O до всеки връх са равни: \(OA = OB = OC = OD\).

Свойства на квадрата и ротацията

За да намерим образите на върховете на квадрата при ротация около центъра му \( O \), трябва да припомним основните свойства на диагоналите на квадрата: 1. Диагоналите се разполовяват и са равни. Следователно центърът \( O \) е на равни разстояния от всички върхове: \[ OA = OB = OC = OD \] 2. Диагоналите са взаимно перпендикулярни. Следователно ъглите между тях са прави: \[ \angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ \] Също така е важно да помним правилото за посоката на ротация: - Положителен ъгъл означава завъртане обратно на часовниковата стрелка. - Отрицателен ъгъл означава завъртане по часовниковата стрелка. - Върховете \( A, B, C, D \) са подредени обратно на часовниковата стрелка по контура на квадрата.

а) ротация с ъгъл \( 90^\circ \)

Определяне на посоката

Ъгълът е положителен, следователно завъртаме всеки лъч от центъра \( O \) към върховете на \( 90^\circ \) обратно на часовниковата стрелка.

Намиране на образите

Тъй като съседните върхове сключват ъгъл \( 90^\circ \) при центъра \( O \) и разстоянията до \( O \) са равни, всеки връх ще се премести на мястото на следващия връх в посока обратно на часовниковата стрелка: - При ротация на \( OA \) на \( 90^\circ \), образът е \( B \). - При ротация на \( OB \) на \( 90^\circ \), образът е \( C \). - При ротация на \( OC \) на \( 90^\circ \), образът е \( D \). - При ротация на \( OD \) на \( 90^\circ \), образът е \( A \).

б) ротация с ъгъл \( -90^\circ \)

Определяне на посоката

Ъгълът е отрицателен, следователно завъртаме всеки лъч от центъра \( O \) към върховете на \( 90^\circ \) по часовниковата стрелка.

Намиране на образите

Всеки връх ще се премести на мястото на предишния връх (по контура на часовниковата стрелка): - При ротация на \( OA \) на \( -90^\circ \), образът е \( D \). - При ротация на \( OB \) на \( -90^\circ \), образът е \( A \). - При ротация на \( OC \) на \( -90^\circ \), образът е \( B \). - При ротация на \( OD \) на \( -90^\circ \), образът е \( C \).

в) ротация с ъгъл \( 180^\circ \)

Определяне на посоката

Ротацията на \( 180^\circ \) (изправен ъгъл) в положителна посока съвпада с централна симетрия спрямо точка \( O \).

Намиране на образите

Точките, разположени на \( 180^\circ \) една спрямо друга около центъра \( O \), лежат на един и същ диагонал: - Образът на \( A \) е срещуположният му връх \( C \). - Образът на \( B \) е срещуположният му връх \( D \). - Образът на \( C \) е срещуположният му връх \( A \). - Образът на \( D \) е срещуположният му връх \( B \).

г) ротация с ъгъл \( -180^\circ \)

Определяне на посоката

Ротацията на \( 180^\circ \) по часовниковата стрелка води до абсолютно същия резултат като ротацията на \( 180^\circ \) обратно на часовниковата стрелка. И двете представляват централна симетрия спрямо центъра \( O \).

Намиране на образите

Образите са същите като в подусловие в): - Образът на \( A \) е \( C \). - Образът на \( B \) е \( D \). - Образът на \( C \) е \( A \). - Образът на \( D \) е \( B \).

В квадрат \(ABCD\) с център \(O\): \(OA=OB=OC=OD\) и \(\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ\). а) \( \rho(O, 90^\circ) \): \( A \to B, B \to C, C \to D, D \to A \) б) \( \rho(O, -90^\circ) \): \( A \to D, B \to A, C \to B, D \to C \) в) \( \rho(O, 180^\circ) \): \( A \to C, B \to D, C \to A, D \to B \) г) \( \rho(O, -180^\circ) \): \( A \to C, B \to D, C \to A, D \to B \)