11. Събиране и Изваждане на Вектори. Свойства

В условието на задачата се споменава чертеж от задача 1, който не е наличен. Поради тази причина ще решим задачата в общия случай за произволно разположени точки, като извършим съответните геометрични построения. За да извадим два вектора, използваме правилото, че изваждането на вектор е еквивалентно на прибавяне на неговия противоположен вектор: \[ \overline{a} - \overline{b} = \overline{a} + (-\overline{b}) \] Противоположният вектор на \( \overline{AB} \) е векторът \( \overline{BA} \). След това прилагаме правилото на триъгълника за събиране на вектори: \( \overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC} \).

Да намерим \( \overline{MN} - \overline{NP} \)

Стъпка 1: Преобразуване в събиране

Заменяме изваждането със събиране с противоположния вектор: \[ \overline{MN} - \overline{NP} = \overline{MN} + (-\overline{NP}) \] \[ \overline{MN} + (-\overline{NP}) = \overline{MN} + \overline{PN} \]

Стъпка 2: Построяване на сбора

За да съберем векторите \( \overline{MN} \) и \( \overline{PN} \) последователно, трябва да построим вектор, равен на \( \overline{PN} \), чието начало съвпада с края на \( \overline{MN} \) (точка N). Нека построим точка \( P_1 \), така че \( \overline{NP_1} = \overline{PN} \). За да бъдат тези два вектора равни, те трябва да лежат на една права, да са еднопосочни и да имат равни дължини. Това означава, че точките P, N и \( P_1 \) са колинеарни (лежат на една права) и точка N е среда на отсечката \( PP_1 \). Начертайте триъгълник MNP. Продължете отсечката PN след точка N и отбележете точка P_1 така, че N да е среда на отсечката PP_1 (така точките P, N и P_1 лежат на една права). Начертайте векторите \overline{MN}, \overline{NP_1} и \overline{MP_1}. Заместваме в израза и прилагаме правилото на триъгълника: \[ \overline{MN} + \overline{PN} = \overline{MN} + \overline{NP_1} \] \[ \overline{MN} + \overline{NP_1} = \overline{MP_1} \] Следователно, \( \overline{MN} - \overline{NP} = \overline{MP_1} \).

Да намерим \( \overline{ML} - \overline{LP} \)

Стъпка 1: Преобразуване в събиране

Аналогично, преобразуваме израза: \[ \overline{ML} - \overline{LP} = \overline{ML} + (-\overline{LP}) \] \[ \overline{ML} + (-\overline{LP}) = \overline{ML} + \overline{PL} \]

Стъпка 2: Построяване на сбора

Построяваме точка \( P_2 \) такава, че \( \overline{LP_2} = \overline{PL} \). Това означава, че точките P, L и \( P_2 \) лежат на една права и точка L е среда на отсечката \( PP_2 \). Начертайте триъгълник MLP. Продължете отсечката PL след точка L и отбележете точка P_2 така, че L да е среда на отсечката PP_2. Начертайте векторите \overline{ML}, \overline{LP_2} и \overline{MP_2}. Прилагаме правилото на триъгълника: \[ \overline{ML} + \overline{PL} = \overline{ML} + \overline{LP_2} \] \[ \overline{ML} + \overline{LP_2} = \overline{MP_2} \] Следователно, \( \overline{ML} - \overline{LP} = \overline{MP_2} \).

Да намерим \( \overline{MQ} - \overline{QP} \)

Стъпка 1: Преобразуване в събиране

\[ \overline{MQ} - \overline{QP} = \overline{MQ} + (-\overline{QP}) \] \[ \overline{MQ} + (-\overline{QP}) = \overline{MQ} + \overline{PQ} \]

Стъпка 2: Построяване на сбора

Построяваме точка \( P_3 \) такава, че \( \overline{QP_3} = \overline{PQ} \). Това означава, че точките P, Q и \( P_3 \) лежат на една права и точка Q е среда на отсечката \( PP_3 \). Начертайте триъгълник MQP. Продължете отсечката PQ след точка Q и отбележете точка P_3 така, че Q да е среда на отсечката PP_3. Начертайте векторите \overline{MQ}, \overline{QP_3} и \overline{MP_3}. Прилагаме правилото на триъгълника: \[ \overline{MQ} + \overline{PQ} = \overline{MQ} + \overline{QP_3} \] \[ \overline{MQ} + \overline{QP_3} = \overline{MP_3} \] Следователно, \( \overline{MQ} - \overline{QP} = \overline{MP_3} \).

а) \( \overline{MN} - \overline{NP} \)

\[ \overline{MN} - \overline{NP} = \overline{MN} + \overline{PN} = \overline{MN} + \overline{NP_1} = \overline{MP_1} \] (където точка N е среда на отсечката \( PP_1 \))

б) \( \overline{ML} - \overline{LP} \)

\[ \overline{ML} - \overline{LP} = \overline{ML} + \overline{PL} = \overline{ML} + \overline{LP_2} = \overline{MP_2} \] (където точка L е среда на отсечката \( PP_2 \))

в) \( \overline{MQ} - \overline{QP} \)

\[ \overline{MQ} - \overline{QP} = \overline{MQ} + \overline{PQ} = \overline{MQ} + \overline{QP_3} = \overline{MP_3} \] (където точка Q е среда на отсечката \( PP_3 \))