53. Допирателни към окръжност през външна точка

Начертайте окръжност \( k \) с център точка \( O \) и радиус \( r \). Изберете четири точки върху окръжността, \( S, P, Q \) и \( R \), разположени последователно по окръжността. Постройте четириъгълник \( ABCD \), който е изпъкнал и описан около окръжността \( k \). Страните на четириъгълника са допирателни към окръжността, като: - допирната точка \( S \) лежи на страната \( AB \), - допирната точка \( P \) лежи на страната \( BC \), - допирната точка \( Q \) лежи на страната \( CD \), - допирната точка \( R \) лежи на страната \( AD \). Върховете на четириъгълника \( ABCD \) са пресечните точки на съседните допирателни (например, връх \( A \) е пресечната точка на допирателните в \( R \) и \( S \), връх \( B \) е пресечната точка на допирателните в \( S \) и \( P \), връх \( C \) е пресечната точка на допирателните в \( P \) и \( Q \), и връх \( D \) е пресечната точка на допирателните в \( Q \) и \( R \)). Постройте радиусите от центъра \( O \) до допирните точки: отсечките \( OS, OP, OQ \) и \( OR \). Всички тези радиуси са равни на \( r \). Свържете центъра \( O \) с върховете на четириъгълника чрез отсечките \( OA, OB, OC \) и \( OD \). Отбележете ясно правите ъгли (\( 90^\circ \)) между всеки радиус и съответната допирателна в точката на допиране. Тоест, отбележете перпендикулярността \( OS \perp AB \) (в точка \( S \)), \( OP \perp BC \) (в точка \( P \)), \( OQ \perp CD \) (в точка \( Q \)) и \( OR \perp AD \) (в точка \( R \)). Използвайте стандартния символ за прав ъгъл. Дадено: Окръжност \( k(O, r) \). Точки \( P, Q, R, S \in k \). Допирателни към окръжността през тези точки, образуващи четириъгълник \( ABCD \). Точките на допиране са съответно: \( S \in AB, P \in BC, Q \in CD, R \in AD \). Да се докаже: а) Точката \( O \) е на равни разстояния до четири допирателни \( AB, BC, CD, DA \); б) Ъглополовящите на \( \angle DAB, \angle ABC, \angle BCD \) и \( \angle CDA \) се пресичат в една точка. Доказателство:

а) Доказателство, че \( O \) е на равни разстояния до допирателните

Стъпка 1: Използване на свойството на допирателната към окръжност

Знаем, че допирателната към дадена окръжност е перпендикулярна на радиуса, построен в точката на допиране. Тъй като \( AB \) е допирателна в точка \( S \), следва че \( OS \perp AB \). По същия начин за останалите допирателни имаме: \[ OP \perp BC \] \[ OQ \perp CD \] \[ OR \perp AD \]

Стъпка 2: Определяне на разстоянията от центъра до правите

Разстоянието от точка до права се измерва по дължината на перпендикуляра, спускан от точката към правата. Следователно разстоянията от центъра \( O \) до четирите допирателни са точно дължините на съответните радиуси: \[ d(O, AB) = OS \] \[ d(O, BC) = OP \] \[ d(O, CD) = OQ \] \[ d(O, AD) = OR \]

Стъпка 3: Сравняване на разстоянията

Тъй като точките \( S, P, Q \) и \( R \) лежат върху окръжността \( k(O, r) \), отсечките \( OS, OP, OQ \) и \( OR \) са радиуси на тази окръжност и следователно са равни помежду си: \[ OS = OP = OQ = OR = r \] От това равенство директно следва, че разстоянията от центъра \( O \) до четирите допирателни са равни: \[ d(O, AB) = d(O, BC) = d(O, CD) = d(O, AD) \] С това подусловие а) е доказано.

б) Доказателство, че ъглополовящите имат обща точка

Стъпка 1: Доказване, че \( OA \) е ъглополовяща на \( \angle DAB \)

Разглеждаме правоъгълните триъгълници \( \triangle AOS \) и \( \triangle AOR \). За тях знаем, че: 1. \( OS = OR = r \) (като радиуси в една и съща окръжност) 2. \( OA \) е обща хипотенуза 3. \( \angle ASO = \angle ARO = 90^\circ \) (тъй като радиусите са перпендикулярни на допирателните) Според признака за еднаквост на правоъгълни триъгълници (IV признак: катет и хипотенуза), следва че: \[ \triangle AOS \cong \triangle AOR \] От еднаквостта на триъгълниците следва равенството на съответните им ъгли: \[ \angle SAO = \angle RAO \] Това означава, че лъчът \( AO \) разделя \( \angle DAB \) на две равни части, следователно правата \( OA \) е ъглополовяща на \( \angle DAB \).

Стъпка 2: Аналогично доказване за останалите ъглополовящи

По абсолютно същия начин разглеждаме двойките правоъгълни триъгълници при останалите върхове: За върха \( B \): Разглеждаме \( \triangle BOS \) и \( \triangle BOP \). Те са еднакви (по IV признак, \( OS = OP = r \), \( OB \) - обща). Следователно \( \angle SBO = \angle PBO \), откъдето \( BO \) е ъглополовяща на \( \angle ABC \). За върха \( C \): Разглеждаме \( \triangle COP \) и \( \triangle COQ \). Те са еднакви (по IV признак, \( OP = OQ = r \), \( OC \) - обща). Следователно \( \angle PCO = \angle QCO \), откъдето \( CO \) е ъглополовяща на \( \angle BCD \). За върха \( D \): Разглеждаме \( \triangle DOQ \) и \( \triangle DOR \). Те са еднакви (по IV признак, \( OQ = OR = r \), \( OD \) - обща). Следователно \( \angle QDO = \angle RDO \), откъдето \( DO \) е ъглополовяща на \( \angle CDA \).

Стъпка 3: Формулиране на крайния извод

Доказахме, че правите \( OA, OB, OC \) и \( OD \) са съответно ъглополовящите на четирите ъгъла на четириъгълника \( ABCD \). Тъй като всяка от тези прави преминава през точка \( O \), следва че четирите ъглополовящи се пресичат в една и съща точка - центъра на окръжността \( O \). С това твърдението е доказано.

а) \[ d(O, AB) = OS = r \] \[ d(O, BC) = OP = r \] \[ d(O, CD) = OQ = r \] \[ d(O, AD) = OR = r \] \[ \Rightarrow d(O, AB) = d(O, BC) = d(O, CD) = d(O, AD) = r \] б) Разглеждаме \( \triangle AOS \) и \( \triangle AOR \): \[ \angle ASO = \angle ARO = 90^\circ, OS = OR = r, AO \text{ - обща} \] \[ \Rightarrow \triangle AOS \cong \triangle AOR \text{ (IV пр.)} \Rightarrow \angle SAO = \angle RAO \] \( \Rightarrow AO \) е ъглополовяща на \( \angle DAB \). Аналогично: \( \triangle BOS \cong \triangle BOP \Rightarrow BO \) е ъглополовяща, \( \triangle COP \cong \triangle COQ \Rightarrow CO \) е ъглополовяща, \( \triangle DOQ \cong \triangle DOR \Rightarrow DO \) е ъглополовяща. Всички ъглополовящи преминават през т. \( O \).