87. Външновписана Окръжност

Стъпка 1: Чертеж и анализ на условието

Начертайте триъгълник \( ABC \). Поставете върха \( A \) в долната лява част, \( B \) вдясно от \( A \), и \( C \) над отсечката \( AB \). Обозначете вътрешните ъгли на \( \triangle ABC \) като \( \alpha \) при връх \( A \) (със стойност \( 80^\circ \)), \( \beta \) при връх \( B \) (със стойност \( 60^\circ \)) и \( \gamma \) при връх \( C \) (със стойност \( 40^\circ \)), за да осигурите пропорционалното изчертаване на триъгълника. Продължете страната \( AB \) след върха \( A \) (в посока от \( B \) през \( A \) наляво) и страната \( CB \) след върха \( C \) (в посока от \( B \) през \( C \) надясно), за да обозначите ясно външните ъгли при върховете \( A \) и \( C \). Постройте ъглополовящата на външния ъгъл при връх \( A \) и ъглополовящата на външния ъгъл при връх \( C \). Отбележете пресечната точка на тези две ъглополовящи с \( I_b \). Точка \( I_b \) трябва да е разположена извън триъгълника \( ABC \), под страната \( AC \). Свържете \( I_b \) с върховете \( A \) и \( C \) с прави линии, формирайки триъгълник \( AI_bC \). Обозначете ъглите \( \angle CAI_b \), \( \angle ACI_b \) и \( \angle AI_bC \) в \( \triangle AI_bC \). По условие точката \( I_b \) е център на външновписаната окръжност към страната \( AC \). Важно свойство на центъра на външновписаната окръжност е, че той лежи на пресечната точка на ъглополовящите на двата външни ъгъла (в случая при върховете \( A \) и \( C \)) и ъглополовящата на вътрешния ъгъл при третия връх. Следователно отсечките \( AI_b \) и \( CI_b \) са ъглополовящи съответно на външния ъгъл при върха \( A \) и външния ъгъл при върха \( C \).

Стъпка 2: Изразяване на ъглите в \( \triangle AI_bC \)

Външният ъгъл при върха \( A \) и вътрешният ъгъл \( \alpha \) са съседни, следователно сборът им е \( 180^\circ \). \[ \text{Външен } \angle A = 180^\circ - \alpha \] Тъй като \( AI_b \) е ъглополовяща на този външен ъгъл, ъгълът между страната \( AC \) и ъглополовящата е половината от него: \[ \angle CAI_b = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \] По същия начин разглеждаме върха \( C \). Външният ъгъл при него е \( 180^\circ - \gamma \). Тъй като \( CI_b \) е ъглополовяща на този външен ъгъл, ъгълът между страната \( CA \) и ъглополовящата е: \[ \angle ACI_b = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2} \]

Стъпка 3: Намиране на търсения ъгъл

Разглеждаме \( \triangle AI_bC \). Знаем, че сборът на ъглите във всеки триъгълник е \( 180^\circ \), следователно: \[ \angle AI_bC + \angle CAI_b + \angle ACI_b = 180^\circ \] Заместваме с изразите, които получихме в Стъпка 2: \[ \angle AI_bC + 90^\circ - \frac{\alpha}{2} + 90^\circ - \frac{\gamma}{2} = 180^\circ \] Групираме градусните мерки: \[ \angle AI_bC + 180^\circ - \frac{\alpha}{2} - \frac{\gamma}{2} = 180^\circ \] Заместваме с дадените по условие стойности \( \alpha = 80^\circ \) и \( \gamma = 40^\circ \): \[ \angle AI_bC + 180^\circ - \frac{80^\circ}{2} - \frac{40^\circ}{2} = 180^\circ \] Опростяваме дробите: \[ \angle AI_bC + 180^\circ - \frac{\cancel{80^\circ}^{40^\circ}}{\cancel{2}_1} - \frac{\cancel{40^\circ}^{20^\circ}}{\cancel{2}_1} = 180^\circ \] \[ \angle AI_bC + 180^\circ - 40^\circ - 20^\circ = 180^\circ \] \[ \angle AI_bC + 180^\circ - 60^\circ = 180^\circ \] Прехвърляме известните стойности от дясната страна на уравнението, за да изразим търсения ъгъл: \[ \angle AI_bC = \cancel{180^\circ} - \cancel{180^\circ} + 60^\circ \] \[ \angle AI_bC = 60^\circ \] Получихме, че търсеният ъгъл е \( 60^\circ \), което отговаря на опция Б).

\( \angle AI_bC = 180^\circ - (\angle CAI_b + \angle ACI_b) \) \( = 180^\circ - \left( \frac{180^\circ - \alpha}{2} + \frac{180^\circ - \gamma}{2} \right) \) \( = 180^\circ - \left( 90^\circ - \frac{80^\circ}{2} + 90^\circ - \frac{40^\circ}{2} \right) \) \( = \cancel{180^\circ} - \cancel{180^\circ} + 40^\circ + 20^\circ = 60^\circ \) Отговор: Б)