Най-важното от урока
Теорема на Питò: В четириъгълник може да се впише окръжност \(\Leftrightarrow\) сборът на срещуположните му страни е равен (\(a+c=b+d\)).
Лице: Лицето на описан четириъгълник се намира по формулата \(S=P \cdot r\), където \(P\) е полупериметърът, а \(r\) е радиусът на вписаната окръжност.
Описан трапец: Височината му е \(h=2r\). Сборът на основите е равен на сбора на бедрата (\(a+b=c+d\)).
Лице: Лицето на описан четириъгълник се намира по формулата \(S=P \cdot r\), където \(P\) е полупериметърът, а \(r\) е радиусът на вписаната окръжност.
Описан трапец: Височината му е \(h=2r\). Сборът на основите е равен на сбора на бедрата (\(a+b=c+d\)).
Височината \(h\) на трапец, който е описан около окръжност с радиус \(r\), е равна на диаметъра на окръжността.
\[ h = 2r \]
Ако в трапец е вписана окръжност с радиус 5 cm, то височината на трапеца е \(h = 2 \cdot 5 = 10\) cm.
Намерете радиуса на вписаната в трапец окръжност, ако височината на трапеца е 14 cm.
От \(h = 2r\) следва, че \(14 = 2r\).
Отговор: \(r = 7\) cm.
Отговор: \(r = 7\) cm.
Лицето \(S\) на четириъгълник, описан около окръжност, е равно на произведението от неговия полупериметър \(P\) и радиуса \(r\) на вписаната окръжност.
\[ S = P \cdot r \]
където \(P = \frac{AB+BC+CD+DA}{2}\) е полупериметърът.
Периметърът на описан четириъгълник е 40 cm. Радиусът на вписаната окръжност е 4 cm. Полупериметърът е \(P = 40/2 = 20\) cm. Лицето е \(S = 20 \cdot 4 = 80\) cm².
Описан четириъгълник има страни 6, 8, 11 и 9 cm. Радиусът на вписаната окръжност е 3 cm. Намерете лицето му.
Периметърът е \(6+8+11+9 = 34\) cm. Полупериметърът е \(P = 34/2 = 17\) cm.
Лицето е \(S = P \cdot r = 17 \cdot 3 = 51\) cm².
Лицето е \(S = P \cdot r = 17 \cdot 3 = 51\) cm².
Ако един трапец е описан около окръжност, то окръжностите, чиито диаметри са бедрата на трапеца, се допират външно. Вярно е и обратното.
Това следва от свойството на описания четириъгълник (\(AB+CD = AD+BC\)) и свойството на средната основа в трапец (\(O_1O_2 = \frac{AB+CD}{2}\)).
Бедрата на трапец са 7 cm и 9 cm. Разстоянието между центровете на окръжностите с диаметри тези бедра е 8 cm. Може ли в трапеца да се впише окръжност?
Радиусите на окръжностите са \(r_1 = 7/2 = 3.5\) cm и \(r_2 = 9/2 = 4.5\) cm. Сборът им е \(r_1+r_2 = 3.5+4.5=8\) cm. Тъй като сборът на радиусите е равен на разстоянието между центровете (8 cm), окръжностите се допират. Следователно в трапеца може да се впише окръжност.
Четириъгълникът \(ABCD\) е описан около окръжност тогава и само тогава, когато окръжностите, вписани в \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\), се допират до диагонала \(AC\) в една и съща точка.
Това е следствие от теоремата на Питò: \(AB+CD=BC+DA\). Ако това равенство е изпълнено, допирните точки съвпадат, и обратно.
Страните на четириъгълник \(ABCD\) са \(AB=10\), \(BC=13\), \(CD=18\), \(DA=15\). Дали окръжностите, вписани в \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\), се допират до \(AC\) в една и съща точка?
Проверяваме дали четириъгълникът е описан:
\(AB+CD = 10+18=28\)
\(BC+DA = 13+15=28\)
Тъй като \(AB+CD = BC+DA\), четириъгълникът е описан. Следователно допирните точки съвпадат.
\(AB+CD = 10+18=28\)
\(BC+DA = 13+15=28\)
Тъй като \(AB+CD = BC+DA\), четириъгълникът е описан. Следователно допирните точки съвпадат.
Задачи за упражнение
Лесна: Даден е четириъгълник, описан около окръжност с радиус 3 cm. Сборът на две срещуположни страни на четириъгълника е 20 cm. Намерете периметъра и лицето му.
Тъй като четириъгълникът е описан, сборът на другите две срещуположни страни също е 20 cm.
Периметърът \(2P = 20 + 20 = 40\) cm.
Полупериметърът \(P = 40 / 2 = 20\) cm.
Лицето \(S = P \cdot r = 20 \cdot 3 = 60\) cm².
Периметърът \(2P = 20 + 20 = 40\) cm.
Полупериметърът \(P = 40 / 2 = 20\) cm.
Лицето \(S = P \cdot r = 20 \cdot 3 = 60\) cm².
Средна: В трапец е вписана окръжност с радиус 2 cm. Намерете лицето на трапеца, ако сборът от бедрата му е 10 cm.
За описан трапец сборът на основите е равен на сбора на бедрата: \(a+b = c+d = 10\) cm.
Височината на трапеца е равна на диаметъра на вписаната окръжност: \(h = 2r = 2 \cdot 2 = 4\) cm.
Лицето на трапеца е \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{10}{2} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20\) cm².
Височината на трапеца е равна на диаметъра на вписаната окръжност: \(h = 2r = 2 \cdot 2 = 4\) cm.
Лицето на трапеца е \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{10}{2} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20\) cm².
Трудна: Около окръжност е описан равнобедрен трапец с остър ъгъл при основата 30°. Средната отсечка на трапеца е 80 cm. Намерете радиуса на окръжността.
1. Средната отсечка \(m = \frac{a+b}{2} = 80\) cm \(\Rightarrow\) сборът на основите \(a+b = 160\) cm.
2. Тъй като трапецът е описан, сборът на основите е равен на сбора на бедрата: \(a+b = 2c\).
3. \(\Rightarrow 160 = 2c\), откъдето бедрото \(c = 80\) cm.
4. В равнобедрен трапец височината \(h\), спусната от връх към основата, образува правоъгълен триъгълник с бедрото. В този триъгълник \(h\) е катет, лежащ срещу ъгъл 30°, следователно \(h = \frac{c}{2}\).
5. \(h = \frac{80}{2} = 40\) cm.
6. Радиусът на вписаната окръжност е \(r = \frac{h}{2} = \frac{40}{2} = 20\) cm.
2. Тъй като трапецът е описан, сборът на основите е равен на сбора на бедрата: \(a+b = 2c\).
3. \(\Rightarrow 160 = 2c\), откъдето бедрото \(c = 80\) cm.
4. В равнобедрен трапец височината \(h\), спусната от връх към основата, образува правоъгълен триъгълник с бедрото. В този триъгълник \(h\) е катет, лежащ срещу ъгъл 30°, следователно \(h = \frac{c}{2}\).
5. \(h = \frac{80}{2} = 40\) cm.
6. Радиусът на вписаната окръжност е \(r = \frac{h}{2} = \frac{40}{2} = 20\) cm.
