Най-важното от урока
Решаване: Уравнението \(ax^2+bx+c=0\) се решава с дискриминанта \(D=b^2-4ac\). Ако \(D \geq 0\), корените са \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Ако \(D < 0\), няма реални корени.
Разлагане: Ако корените са \(x_1, x_2\), то \(ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)\). Пример: \(x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)\), защото корените са 2 и 3.
Формули на Виет: За уравнението \(ax^2+bx+c=0\) сборът на корените е \(x_1+x_2 = -b/a\), а произведението им е \(x_1x_2=c/a\).
Разлагане: Ако корените са \(x_1, x_2\), то \(ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)\). Пример: \(x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)\), защото корените са 2 и 3.
Формули на Виет: За уравнението \(ax^2+bx+c=0\) сборът на корените е \(x_1+x_2 = -b/a\), а произведението им е \(x_1x_2=c/a\).
Квадратното уравнение е уравнение от вида \(ax^2 + bx + c = 0\), където \(a \neq 0\). Неговите решения (корени) се намират с помощта на дискриминантата.
Дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\)
- Ако \(D > 0\), уравнението има два различни реални корена: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
- Ако \(D = 0\), уравнението има един двоен реален корен: \(x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}\)
- Ако \(D < 0\), уравнението няма реални корени.
За уравнението \(x^2 + 5x - 6 = 0\), коефициентите са \(a=1, b=5, c=-6\).
\(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 > 0\).
Корените са \(x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2}\), откъдето \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -6\).
\(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 > 0\).
Корените са \(x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2}\), откъдето \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -6\).
Решете уравнението \(2x^2 - 5x + 3 = 0\).
\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1\).
\(x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}\).
Отговор: \(x_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\), \(x_2 = \frac{4}{4} = 1\).
\(x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}\).
Отговор: \(x_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\), \(x_2 = \frac{4}{4} = 1\).
Ако коефициентът \(b\) е четно число, т.е., \(b = 2k\), може да се използва улеснена формула за изчисленията.
Уравнение: \(ax^2 + 2kx + c = 0\)
Съкратена дискриминанта: \(D_1 = k^2 - ac\)
Корени: \(x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}\)
Съкратена дискриминанта: \(D_1 = k^2 - ac\)
Корени: \(x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}\)
За уравнението \(x^2 - 14x + 45 = 0\), имаме \(b = -14\), следователно \(k = -7\).
\(D_1 = (-7)^2 - 1 \cdot 45 = 49 - 45 = 4\).
Корените са \(x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{4}}{1} = 7 \pm 2\), откъдето \(x_1 = 9\) и \(x_2 = 5\).
\(D_1 = (-7)^2 - 1 \cdot 45 = 49 - 45 = 4\).
Корените са \(x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{4}}{1} = 7 \pm 2\), откъдето \(x_1 = 9\) и \(x_2 = 5\).
Решете уравнението \(3x^2 + 2x - 1 = 0\) със съкратената формула.
Тук \(b=2\), значи \(k=1\).
\(D_1 = 1^2 - 3 \cdot (-1) = 1 + 3 = 4\).
\(x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4}}{3} = \frac{-1 \pm 2}{3}\).
Отговор: \(x_1 = \frac{1}{3}\), \(x_2 = -1\).
\(D_1 = 1^2 - 3 \cdot (-1) = 1 + 3 = 4\).
\(x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4}}{3} = \frac{-1 \pm 2}{3}\).
Отговор: \(x_1 = \frac{1}{3}\), \(x_2 = -1\).
Ако квадратното уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) има реални корени \(x_1\) и \(x_2\), то съответният му тричлен може да се разложи на множители. Ако няма реални корени, тричленът е неразложим.
\[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]
Да разложим \(2x^2 + 9x - 5\).
Корените на \(2x^2 + 9x - 5 = 0\) са \(x_1 = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = -5\).
Разлагането е: \(2(x - \frac{1}{2})(x - (-5)) = 2(x - \frac{1}{2})(x + 5) = (2x - 1)(x + 5)\).
Корените на \(2x^2 + 9x - 5 = 0\) са \(x_1 = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = -5\).
Разлагането е: \(2(x - \frac{1}{2})(x - (-5)) = 2(x - \frac{1}{2})(x + 5) = (2x - 1)(x + 5)\).
Разложете на множители тричлена \(x^2 - 2x - 15\).
Корените на \(x^2 - 2x - 15 = 0\) са \(x_1=5\) и \(x_2=-3\).
Отговор: \(1(x - 5)(x - (-3)) = (x-5)(x+3)\).
Отговор: \(1(x - 5)(x - (-3)) = (x-5)(x+3)\).
Теоремите на Виет описват връзката между корените на едно квадратно уравнение и неговите коефициенти.
Първа теорема: Ако \(x_1\) и \(x_2\) са корени на уравнението \(ax^2 + bx + c = 0\), то:
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{и} \quad x_1x_2 = \frac{c}{a} \]
Втора (обратна) теорема: Ако за числата \(x_1, x_2\) е изпълнено \(x_1+x_2=-p\) и \(x_1x_2=q\), то те са корени на уравнението \(x^2 + px + q = 0\).
За уравнението \(x^2 - 3x - 5 = 0\), без да го решаваме, можем да намерим сбора и произведението на корените му:
\(x_1 + x_2 = - \frac{-3}{1} = 3\)
\(x_1x_2 = \frac{-5}{1} = -5\)
\(x_1 + x_2 = - \frac{-3}{1} = 3\)
\(x_1x_2 = \frac{-5}{1} = -5\)
Съставете квадратно уравнение, чиито корени са 2 и 7.
Намираме \(p\) и \(q\):
\(x_1+x_2 = 2+7=9\). От \(x_1+x_2 = -p\), следва \(-p = 9 \Rightarrow p = -9\).
\(x_1x_2 = 2 \cdot 7 = 14\). От \(x_1x_2 = q\), следва \(q = 14\).
Отговор: Уравнението е \(x^2 - 9x + 14 = 0\).
\(x_1+x_2 = 2+7=9\). От \(x_1+x_2 = -p\), следва \(-p = 9 \Rightarrow p = -9\).
\(x_1x_2 = 2 \cdot 7 = 14\). От \(x_1x_2 = q\), следва \(q = 14\).
Отговор: Уравнението е \(x^2 - 9x + 14 = 0\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(x^2 - 10x + 21 = 0\).
По формулите на Виет търсим две числа със сбор 10 и произведение 21. Това са 3 и 7.
Алтернативно с дискриминанта: \(D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16\).
\(x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{10 \pm 4}{2}\).
Отговор: \(x_1 = 7, x_2 = 3\).
Алтернативно с дискриминанта: \(D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16\).
\(x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{10 \pm 4}{2}\).
Отговор: \(x_1 = 7, x_2 = 3\).
Средна: Разложете на множители квадратния тричлен \(3x^2 + 5x - 2\).
Първо решаваме уравнението \(3x^2 + 5x - 2 = 0\).
\(D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\).
\(x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm 7}{6}\). Корените са \(x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) и \(x_2 = \frac{-12}{6} = -2\).
Разлагаме по формулата \(a(x-x_1)(x-x_2)\):
\(3(x - \frac{1}{3})(x - (-2)) = 3(x - \frac{1}{3})(x + 2)\)
Отговор: \((3x-1)(x+2)\).
\(D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\).
\(x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm 7}{6}\). Корените са \(x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) и \(x_2 = \frac{-12}{6} = -2\).
Разлагаме по формулата \(a(x-x_1)(x-x_2)\):
\(3(x - \frac{1}{3})(x - (-2)) = 3(x - \frac{1}{3})(x + 2)\)
Отговор: \((3x-1)(x+2)\).
Трудна: Без да решавате уравнението \(x^2 - 5x + 2 = 0\), съставете ново квадратно уравнение \(y^2+py+q=0\), чиито корени са \(y_1 = x_1+2\) и \(y_2=x_2+2\).
От даденото уравнение и формулите на Виет имаме: \(x_1 + x_2 = 5\) и \(x_1x_2 = 2\).
Търсим \(p\) и \(q\) за новото уравнение:
1. Сбор на новите корени:
\(-p = y_1 + y_2 = (x_1+2) + (x_2+2) = (x_1+x_2) + 4 = 5 + 4 = 9\). Следователно \(p = -9\).
2. Произведение на новите корени:
\(q = y_1 \cdot y_2 = (x_1+2)(x_2+2) = x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4 = x_1x_2 + 2(x_1+x_2) + 4\).
\(q = 2 + 2(5) + 4 = 2 + 10 + 4 = 16\).
Отговор: Новото уравнение е \(y^2 - 9y + 16 = 0\).
Търсим \(p\) и \(q\) за новото уравнение:
1. Сбор на новите корени:
\(-p = y_1 + y_2 = (x_1+2) + (x_2+2) = (x_1+x_2) + 4 = 5 + 4 = 9\). Следователно \(p = -9\).
2. Произведение на новите корени:
\(q = y_1 \cdot y_2 = (x_1+2)(x_2+2) = x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4 = x_1x_2 + 2(x_1+x_2) + 4\).
\(q = 2 + 2(5) + 4 = 2 + 10 + 4 = 16\).
Отговор: Новото уравнение е \(y^2 - 9y + 16 = 0\).
