57. Задачи Към Тема 6

а) Окръжности с равни радиуси, минаващи през дадена точка

Определяне на фигурата

Нека дадената точка е \( A \), а радиусът на окръжностите е \( R \). Ако окръжност с център \( O \) и радиус \( R \) минава през \( A \), то разстоянието от центъра \( O \) до точката \( A \) е точно \( OA = R \). Геометричното място на точките, които са на постоянно разстояние \( R \) от фиксирана точка \( A \), е окръжност. Следователно центровете образуват окръжност с център дадената точка \( A \) и радиус \( R \).

б) Окръжности, минаващи през две дадени точки

Определяне на фигурата

Нека дадените две точки са \( A \) и \( B \). Ако окръжност с център \( O \) минава през \( A \) и \( B \), то разстоянията от центъра до двете точки са равни на нейния радиус: \[ OA = OB = R \] Точките, които са на равни разстояния от две дадени точки \( A \) и \( B \), лежат на симетралата на отсечката \( AB \). Следователно центровете образуват симетралата на отсечката, свързваща двете дадени точки (без изискване за краища, т.е. цялата права симетрала).

в) Окръжности с равни радиуси, допиращи се външно до дадена окръжност

Определяне на фигурата

Нека дадената окръжност е \( k(O; R_1) \), а допиращите се окръжности имат център \( O' \) и радиус \( R_2 \). При външно допиране разстоянието между центровете им е: \[ OO' = R_1 + R_2 \] Тъй като \( R_1 \) и \( R_2 \) са константи, сборът \( R_1 + R_2 \) също е константа. Всички точки \( O' \), намиращи се на разстояние \( R_1 + R_2 \) от центъра \( O \), образуват окръжност, концентрична на дадената, с център \( O \) и радиус \( R_1 + R_2 \).

г) Окръжности с равни радиуси, допиращи се вътрешно до дадена окръжност

Разглеждане на възможните случаи според радиусите

Нека дадената окръжност е \( k(O; R_1) \), а подвижните окръжности са с център \( O' \) и радиус \( R_2 \). При вътрешно допиране разстоянието между центровете е равно на абсолютната стойност на разликата между техните радиуси: \[ OO' = |R_1 - R_2| \] Разглеждаме следните случаи: 1. Ако \( R_1 \neq R_2 \), разстоянието е \( OO' = |R_1 - R_2| > 0 \). Тогава фигурата е окръжност, концентрична на дадената, с център \( O \) и радиус \( |R_1 - R_2| \). 2. Ако \( R_1 = R_2 \), тогава \( OO' = 0 \), което означава, че центровете съвпадат (\( O' \equiv O \)). Фигурата е една точка – центърът \( O \) на дадената окръжност.

д) Окръжности с равни радиуси, допиращи се до дадена права

Определяне на фигурата

Нека дадената права е \( p \), а радиусът на окръжностите е \( R \). Разстоянието от центъра \( O \) на всяка такава окръжност до правата \( p \) е равно на радиуса: \[ d(O, p) = R \] Множеството от точки, намиращи се на разстояние \( R \) от правата \( p \), представлява две прави, успоредни на дадената права \( p \) и разположени на разстояние \( R \) от нея (по една от всяка страна на правата).

е) Окръжности, допиращи се до две прави

Разглеждане на взаимното положение на двете прави

Нека правите са \( a \) и \( b \). Разглеждаме два случая: 1. Правите \( a \) и \( b \) се пресичат: Центърът на окръжност, допираща се до двете рамене на ъгъл, лежи на неговата ъглополовяща, тъй като е на равни разстояния от правите \( a \) и \( b \). Две пресичащи се прави образуват четири ъгъла с двойки противоположни (връхни) ъгли. Следователно центровете образуват двете взаимноперпендикулярни ъглополовящи на образуваните от пресичането ъгли (с изключение на самата пресечна точка на правите, тъй като при допиране към две прави радиусът \( R > 0 \)). 2. Правите \( a \) и \( b \) са успоредни (\( a \parallel b \)): Центровете на окръжностите са на еднакво разстояние от двете прави (с радиус \( R = \frac{d}{2} \), където \( d \) е разстоянието между правите). Следователно фигурата е една права, успоредна на дадените две прави и лежаща по средата между тях (средната успоредна права).

а)

Окръжност с център дадената точка и дадения радиус.

б)

Симетралата на отсечката между двете точки.

в)

Концентрична окръжност с радиус \( R_1 + R_2 \).

г)

При \( R_1 \neq R_2 \): концентрична окръжност с радиус \( |R_1 - R_2| \); при \( R_1 = R_2 \): центърът на дадената окръжност.

д)

Две успоредни прави на разстояние \( R \) от дадената.

е)

При пресичащи се прави: двете взаимноперпендикулярни ъглополовящи (без пресечната точка); при успоредни прави: средната успоредна права.