Триъгълник И Окръжност. Упражнение

Най-важното от урока

Ключови изводи:

Описана окръжност: Пресечна точка на симетралите.
Вписана окръжност: Пресечна точка на ъглополовящите.
Външновписани окръжности: Пресичане на една вътрешна и две външни ъглополовящи.
Важно правило: Ъглополовящите на вътрешен и съседен външен ъгъл са винаги перпендикулярни (\(90^\circ\)).
Лема за Триъзбеца: Центърът на окръжността през \(A\), \(B\) и \(I\) лежи на описаната около \(\triangle ABC\) окръжност.

Център: \(O\), Радиус: \(R\)

Описаната около триъгълник окръжност минава през всичките му върхове.

Построяваме симетралите на две от страните на триъгълника. Пресечната им точка е центърът \(O\).

Чертеж на триъгълник ABC с описана окръжност. Окръжността минава през върховете A, B и C. Показани са перпендикулярните симетрали на страните AB и BC, които се пресичат в точка O – центърът на окръжността. Отсечката OA е отбелязана като радиус R на описаната окръжност.

Център: \(I\), Радиус: \(r\)

Вписаната в триъгълник окръжност се допира до трите му страни.

Построяваме ъглополовящите на два от ъглите. Пресечната им точка е центърът \(I\). Радиусът \(r\) е перпендикулярът от \(I\) към някоя от страните.

{Чертеж на триъгълник ABC, с върхове A в долния ляв ъгъл, B в долния десен и C в горната част. Начертайте ъглополовящите на ъглите A и B, които се пресичат в точка I, център на вписаната окръжност. Начертайте вписана окръжност с център I, допираща се до трите страни на триъгълника. От точка I начертайте перпендикуляр към страната AB, пресичащ я в точка D. Означете сегмента ID като радиус 'r' и покажете символ за прав ъгъл при D.}

Центрове: \(I_a, I_b, I_c\), Радиуси: \(r_a, r_b, r_c\)

За всеки триъгълник съществуват три външновписани окръжности. Всяка от тях се допира до една страна на триъгълника и до продълженията на другите две.

Центърът на всяка външновписана окръжност се намира като пресечна точка на вътрешната ъглополовяща на един ъгъл и външната ъглополовяща на друг ъгъл на триъгълника.

Ъглополовящата на вътрешния ъгъл и ъглополовящата на външния ъгъл при един и същи връх са перпендикулярни (сключват ъгъл \(90^\circ\)).

Чертеж на триъгълник ABC. Изобразете продълженията на страните му.
Покажете трите външновписани окръжности, всяка от които е допирателна до една страна на триъгълника и продълженията на другите две.
Покажете центровете Ia, Ib, Ic.
Центърът Ia на външновписаната окръжност срещу върха A е пресечна точка на вътрешната ъглополовяща на ъгъл A и външните ъглополовящи на ъгли B и C. От него да се начертае радиус ra перпендикулярно до страната BC.
Центърът Ib на външновписаната окръжност срещу върха B е пресечна точка на вътрешната ъглополовяща на ъгъл B и външните ъглополовящи на ъгли A и C. От него да се начертае радиус rb перпендикулярно до страната AC.
Центърът Ic на външновписаната окръжност срещу върха C е пресечна точка на вътрешната ъглополовяща на ъгъл C и външните ъглополовящи на ъгли A и B. От него да се начертае радиус rc перпендикулярно до страната AB.
Върховете A, B, C, центровете Ia, Ib, Ic и радиусите ra, rb, rc да са ясно обозначени.

Ако точка \(K\) е средата на дъгата \(AB\) от описаната окръжност (тази, която не съдържа \(C\)), а точка \(I\) е центърът на вписаната окръжност, то е изпълнено равенството: \[ AK = BK = KI \]

Това означава, че точка \(K\) е център на окръжността, описана около \(\triangle ABI\).

Геометричен чертеж, илюстриращ Лемата за Триъзбеца. Начертайте триъгълник ABC с неговата описана окръжност. Поставете точка K на описаната окръжност, така че да е среда на дъгата AB, която не съдържа върха C. Поставете точка I като инцентър на триъгълник ABC, като покажете поне две ъглополовящи (например на ъгли A и B), които се пресичат в I. Начертайте отсечките AK, BK и KI. Маркирайте тези три отсечки с еднакви символи, за да покажете визуално тяхното равенство: AK = BK = KI. Всички върхове A, B, C и точки I, K да са ясно обозначени.

Задачи за упражнение

Задача 1 (Лесна): В \(\triangle ABC\) е построена ъглополовящата \(AL\) (\(L \in BC\)) и външната ъглополовяща при върха \(A\), която пресича правата \(BC\) в точка \(M\). Намерете ъгъла \(\angle LAM\).

Нека \(\angle BAC = \alpha\).
Вътрешната ъглополовяща \(AL\) дели ъгъла на две равни части от по \(\frac{\alpha}{2}\).
Външният ъгъл при върха \(A\) е \(180^\circ - \alpha\). Външната ъглополовяща дели този ъгъл на две равни части от по \(\frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\).
Търсеният ъгъл \(\angle LAM\) е сбор от половинката на вътрешния и половинката на външния ъгъл: \[ \angle LAM = \frac{\alpha}{2} + (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 90^\circ \] Отговор: \(90^\circ\)

Задача 2 (Средна): Нека \(I\) е центърът на вписаната окръжност в \(\triangle ABC\), а \(I_a\) е центърът на външновписаната окръжност, която се допира до страната \(BC\). Докажете, че четириъгълникът \(IBI_aC\) е вписан в окръжност.

1. Правата \(BI\) е ъглополовяща на вътрешния \(\angle B\), а \(BI_a\) е ъглополовяща на външния ъгъл при върха \(B\). Следователно \(\angle IBI_a = 90^\circ\).
2. Аналогично за върха \(C\): \(CI\) е вътрешна, а \(CI_a\) е външна ъглополовяща, следователно \(\angle ICI_a = 90^\circ\).
3. В четириъгълника \(IBI_aC\) имаме два срещуположни ъгъла, чийто сбор е \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\).
4. Щом сборът на срещуположните ъгли е \(180^\circ\), около четириъгълника може да се опише окръжност. (Диаметърът на тази окръжност е отсечката \(II_a\)).

Задача 3 (Трудна): Използвайки Лемата за Триъзбеца, определете местоположението на центъра на окръжността, минаваща през върховете \(A\), \(B\) и центъра на вписаната окръжност \(I\).

Според Лемата за Триъзбеца, ако разгледаме описаната около \(\triangle ABC\) окръжност, средата на дъгата \(AB\) (тази, срещу върха \(C\)) е на равни разстояния от \(A\), \(B\) и \(I\).
Нека означим тази точка с \(K\). Тогава \(AK = BK = IK\).
Това означава, че точка \(K\) е центърът на окръжността, описана около \(\triangle ABI\).
Извод: Центърът лежи върху описаната около \(\triangle ABC\) окръжност и е среда на дъгата \(AB\).