72. Описана Окръжност Около Триъгълник. Упражнение

Стъпка 1: Построяване на чертеж

1. Начертайте окръжност \( k \) с център \( O \). 2. Впишете остроъгълен триъгълник \( ABC \) в окръжността, като върховете \( A, B, C \) лежат на окръжността. Разположете върховете в посока, обратна на часовниковата стрелка, започвайки с \( A \) в долната лява част, след това \( B \) в долната дясна част и \( C \) в горната част, така че триъгълникът да е остроъгълен. 3. Постройте височината \( AH \) от върха \( A \) към страната \( BC \), като \( H \) лежи на отсечката \( BC \) и отсечката \( AH \) е перпендикулярна на \( BC \). Отбележете правия ъгъл при \( H \). 4. Свържете центъра \( O \) с върховете \( A \) и \( B \) чрез отсечките \( OA \) и \( OB \), образувайки триъгълник \( ABO \). 5. Означете ъгъла при върха \( C \), \( \measuredangle ACB \), с \( \gamma \). Уверете се, че ъглите \( \measuredangle CAH \) (образуван от \( CA \) и \( AH \)) и \( \measuredangle OAB \) (образуван от \( OA \) и \( AB \)) са ясно видими.

Стъпка 2: Изразяване на \( \measuredangle CAH \) чрез ъглите на \( \triangle ABC \)

Нека означим ъгъла при върха \( C \) на \( \triangle ABC \) с \( \gamma \), т.е. \( \measuredangle ACB = \gamma \). По условие \( AH \perp BC \), следователно \( \triangle AHC \) е правоъгълен с \( \measuredangle AHC = 90^\circ \). От сбора на острите ъгли в правоъгълния \( \triangle AHC \) получаваме: \[ \measuredangle CAH = 90^\circ - \measuredangle ACH = 90^\circ - \gamma \]

Стъпка 3: Изразяване на \( \measuredangle OAB \) чрез централния ъгъл

Централният ъгъл \( \measuredangle AOB \) съответства на същата дъга \( \widehat{AB} \), както и вписаният ъгъл \( \measuredangle ACB = \gamma \). По теоремата за вписан и централен ъгъл: \[ \measuredangle AOB = 2\measuredangle ACB = 2\gamma \] Триъгълникът \( \triangle AOB \) е равнобедрен, тъй като \( OA = OB = R \) (радиуси на описаната окръжност \( k \)). Следователно ъглите при основата \( AB \) са равни: \[ \measuredangle OAB = \measuredangle OBA = \frac{180^\circ - \measuredangle AOB}{2} = \frac{180^\circ - 2\gamma}{2} = 90^\circ - \gamma \]

Стъпка 4: Сравняване на получените ъгли

От Стъпка 2 и Стъпка 3 имаме: \[ \measuredangle CAH = 90^\circ - \gamma \] \[ \measuredangle OAB = 90^\circ - \gamma \] Следователно: \[ \measuredangle CAH = \measuredangle OAB \] с което твърдението е доказано.

Нека \( \measuredangle ACB = \gamma \). От \( \triangle AHC \) (\( \measuredangle AHC = 90^\circ \)) \( \Rightarrow \measuredangle CAH = 90^\circ - \gamma \). Централният \( \measuredangle AOB = 2\measuredangle ACB = 2\gamma \). От \( \triangle ABO \) (\( OA = OB = R \)) \( \Rightarrow \measuredangle OAB = \frac{180^\circ - 2\gamma}{2} = 90^\circ - \gamma \). \( \Rightarrow \measuredangle CAH = \measuredangle OAB \).