8. Задачи към Тема 2

Стъпка 1: Анализ на условието и чертеж

Даден е триъгълник \( ABC \). Точките \( M, N \) и \( P \) са средите съответно на страните \( AB \), \( BC \) и \( CA \). Дадени са базовите вектори: \[ \vec{CA} = \vec{a} \] \[ \vec{CB} = \vec{b} \] Трябва да изразим няколко вектора чрез \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). За улеснение ще използваме точка \( C \) като общо начало за повечето пресмятания, тъй като дадените вектори започват от нея.
Начертайте скален триъгълник ABC. Разположете точка A в долния ляв ъгъл, B в долния десен ъгъл и C в горната част. Отбележете точка M като среда на страната AB. Отбележете точка N като среда на страната BC. Отбележете точка P като среда на страната AC. Обозначете всички върхове (A, B, C) и среди (M, N, P) с техните латински букви. Начертайте вектор \( \vec{CA} \) като стрелка от C към A и го означете с \( \vec{a} \). Начертайте вектор \( \vec{CB} \) като стрелка от C към B и го означете с \( \vec{b} \). Етикетите на векторите \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) трябва да бъдат разположени близо до съответните стрелки.

Стъпка 2: Изразяване на \( \vec{AB} \)

За да намерим \( \vec{AB} \), използваме правилото за изваждане на вектори с общо начало (точка \( C \)): \[ \vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA} \] Заместваме с дадените означения: \[ \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} \]

Стъпка 3: Изразяване на \( \vec{PB} \)

Точка \( P \) е среда на страната \( CA \). Тъй като векторите \( \vec{CP} \) и \( \vec{CA} \) лежат на една права и имат една посока, а дължината на \( CP \) е половината от \( CA \), то: \[ \vec{CP} = \frac{1}{2}\vec{CA} = \frac{1}{2}\vec{a} \] Сега разглеждаме \( \vec{PB} \). Можем да го изразим чрез разлика на вектори с начало \( C \): \[ \vec{PB} = \vec{CB} - \vec{CP} \] Заместваме с известните ни стойности: \[ \vec{PB} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} \]

Стъпка 4: Изразяване на \( \vec{CM} \)

Точка \( M \) е среда на отсечката \( AB \). Използваме основната формула за вектор-медиана, която гласи, че ако \( M \) е среда на \( AB \), то за всяка точка \( C \) е изпълнено: \[ \vec{CM} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB}) \] Заместваме с \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \): \[ \vec{CM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} \]

Стъпка 5: Изразяване на \( \vec{AN} \)

Първо определяме вектора \( \vec{CN} \). Тъй като \( N \) е среда на \( BC \): \[ \vec{CN} = \frac{1}{2}\vec{CB} = \frac{1}{2}\vec{b} \] Сега изразяваме \( \vec{AN} \) чрез разлика на вектори с начало \( C \): \[ \vec{AN} = \vec{CN} - \vec{CA} \] Заместваме: \[ \vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a} \]

Стъпка 6: Изразяване на \( \vec{NP} \)

Векторът \( \vec{NP} \) свързва двете среди \( N \) и \( P \). Изразяваме го чрез векторите с начало \( C \): \[ \vec{NP} = \vec{CP} - \vec{CN} \] Вече знаем, че \( \vec{CP} = \frac{1}{2}\vec{a} \) и \( \vec{CN} = \frac{1}{2}\vec{b} \). Заместваме: \[ \vec{NP} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b}) \]

Стъпка 7: Изразяване на \( \vec{MP} \)

Аналогично, изразяваме \( \vec{MP} \) чрез разлика с начало \( C \): \[ \vec{MP} = \vec{CP} - \vec{CM} \] Използваме изразите, намерени в предишните стъпки (\( \vec{CP} = \frac{1}{2}\vec{a} \) и \( \vec{CM} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} \)): \[ \vec{MP} = \frac{1}{2}\vec{a} - \left( \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} \right) \] Разкриваме скобите и съкращаваме противоположните събираеми: \[ \vec{MP} = \cancel{\frac{1}{2}\vec{a}} - \cancel{\frac{1}{2}\vec{a}} - \frac{1}{2}\vec{b} \] \[ \vec{MP} = -\frac{1}{2}\vec{b} \]

Стъпка 8: Изразяване на \( \vec{MN} \)

По същия начин процедираме за \( \vec{MN} \): \[ \vec{MN} = \vec{CN} - \vec{CM} \] Заместваме \( \vec{CN} = \frac{1}{2}\vec{b} \) и \( \vec{CM} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} \): \[ \vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{b} - \left( \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} \right) \] Разкриваме скобите и унищожаваме противоположните членове: \[ \vec{MN} = \cancel{\frac{1}{2}\vec{b}} - \frac{1}{2}\vec{a} - \cancel{\frac{1}{2}\vec{b}} \] \[ \vec{MN} = -\frac{1}{2}\vec{a} \]

\( \vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA} = \vec{b} - \vec{a} \) \( \vec{PB} = \vec{CB} - \vec{CP} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} \) \( \vec{CM} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} \) \( \vec{AN} = \vec{CN} - \vec{CA} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a} \) \( \vec{NP} = \vec{CP} - \vec{CN} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} \) \( \vec{MP} = \vec{CP} - \vec{CM} = \frac{1}{2}\vec{a} - (\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = -\frac{1}{2}\vec{b} \) \( \vec{MN} = \vec{CN} - \vec{CM} = \frac{1}{2}\vec{b} - (\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = -\frac{1}{2}\vec{a} \)