Проверете вярно ли е равенството:\na) $\sqrt{144} = 12$; б) $\sqrt{2\frac{14}{25}} = 1,6$; в) $\sqrt{(-10)^2} = -10$; г) $\sqrt{3} = 1,7$.

Дефиниция за квадратен корен За всяко неотрицателно число $ a \ge 0 $, квадратен корен $ \sqrt{a} $ е това неотрицателно число $ b \ge 0 $, за което $ b^2 = a $. а) $\sqrt{144} = 12$ Проверка на равенството Проверяваме двете условия: 1) $ 12 \ge 0 $ 2) $ 12^2 = 144 $ Тъй като и двете условия са изпълнени, равенството е вярно. б) $\sqrt{2\frac{14}{25}} = 1,6$ Проверка на равенството Превръщаме смесеното число в неправилна дроб: \[ 2\frac{14}{25} = \frac{2 \cdot 25 + 14}{25} = \f...

Ирационални Числа. Квадратен Корен

Най-важното от урока

Ирационални числа: Безкрайни непериодични дроби, които не могат да се запишат като $\frac{p}{q}$. Пример: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi$.
Действителни числа ($\mathbb{R}$): Всички рационални и ирационални числа заедно.
Квадратен корен: $\sqrt{b} = a$ означава, че $a^2=b$ и $a \ge 0$. Може да се коренува само неотрицателно число ($b \ge 0$). Пример: $\sqrt{81} = 9$.
Ключово свойство: $\sqrt{a^2} = |a|$. Винаги помнете модула! Пример: $\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4$.

Ирационални числа са числа, които не могат да се представят като частно на две цели числа (във вид на дроб $\frac{p}{q}$). Тяхното десетично представяне е безкрайна непериодична дроб.

Дължината на диагонала на квадрат със страна 1 е $\sqrt{2}$.
${Диаграма на квадрат ABCD със страна 1 и диагонал AC, който по Питагоровата теорема има дължина $\sqrt{2}$.}$ $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$ е ирационално число. Друг известен пример е числото $\pi \approx 3.14159265...$.

Кои от следните числа са ирационални: $\frac{7}{3}$, $\sqrt{5}$, $-4$, $\sqrt{25}$?

Ирационално е само $\sqrt{5}$, защото 5 не е точен квадрат на рационално число.
$\frac{7}{3}$ е рационално по дефиниция.
$-4 = -\frac{4}{1}$ е рационално.
$\sqrt{25} = 5$, което е рационално число.

Обединението на множествата на рационалните и ирационалните числа се нарича множество на реалните (действителни) числа. Означава се с $\mathbb{R}$.

Числа като $15$, $-2.5$, $\frac{1}{3}$, $\sqrt{3}$ и $\pi$ са реални числа. Всички числа, които можем да нанесем върху числовата ос, са реални.

Дадено е числото $-8$. Към кои множества принадлежи: $\mathbb{N}$ (естествени), $\mathbb{Z}$ (цели), $\mathbb{Q}$ (рационални), $\mathbb{R}$ (реални)?

$-8$ не е естествено число.
$-8$ е цяло число ($\in \mathbb{Z}$).
Тъй като $-8 = -\frac{8}{1}$, то е и рационално число ($\in \mathbb{Q}$).
Всички рационални числа са и реални, следователно $-8 \in \mathbb{R}$.

Квадратен корен от неотрицателно число $b$ е неотрицателното число $a$, чийто квадрат е равен на $b$.

${Схема, дефинираща квадратен корен: $\sqrt{b}=a$ с пояснения, че $\sqrt{}$ е корен (радикал), $b$ е подкоренна величина. Условията са $a^2=b$ и $a \ge 0$.}$

\[ \sqrt{b} = a \quad \Leftrightarrow \quad a^2 = b \text{ и } a \ge 0 \] $b$ се нарича подкоренна величина.

Подкоренната величина $b$ не може да бъде отрицателно число, т.е. винаги трябва да е изпълнено $b \ge 0$.

$\sqrt{16} = 4$, защото $4^2 = 16$ и $4 \ge 0$.
Изразът $\sqrt{-16}$ няма смисъл в множеството на реалните числа.

За кои стойности на $a$ има смисъл изразът $\sqrt{a-2}$?

Подкоренната величина трябва да е неотрицателна: $a-2 \ge 0$.
Следователно, $a \ge 2$.

За всяко реално число $a$: \[ \sqrt{a^2} = |a| \] (Модул от $a$)

За всяко неотрицателно число $a \ge 0$: \[ (\sqrt{a})^2 = a \]

$\sqrt{5^2} = |5| = 5$
$\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$
$(\sqrt{7})^2 = 7$

Опростете израза $\sqrt{(-1.5)^2} - (\sqrt{3})^2$.

$\sqrt{(-1.5)^2} - (\sqrt{3})^2 = |-1.5| - 3 = 1.5 - 3 = -1.5$

Задачи за упражнение

Лесна: Пресметнете стойността на израза $\sqrt{49} + \sqrt{100} - \sqrt{1}$.

$\sqrt{49} + \sqrt{100} - \sqrt{1} = 7 + 10 - 1 = 16$

Средна: Пресметнете $\sqrt{144} - \sqrt{(-12)^2} + (\sqrt{12})^2$.

$\sqrt{144} - \sqrt{(-12)^2} + (\sqrt{12})^2 = 12 - |-12| + 12 = 12 - 12 + 12 = 12$

Трудна: Намерете хипотенузата $c$ на правоъгълен триъгълник с катети $a=3$ cm и $b=4$ cm. Рационално или ирационално число е дължината ѝ? {Диаграма на правоъгълен триъгълник с катети a и b, и хипотенуза c.}

{Диаграма на правоъгълен триъгълник с катети a и b, и хипотенуза c.}

От Питагоровата теорема: $c^2 = a^2 + b^2$.
$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
$c = \sqrt{25} = 5$ cm.
Тъй като $5$ е цяло число, то е и рационално.

20. Ирационални Числа. Квадратен Корен

Избери решение на задача:

а)

б)

в)

г)

Дефиниция за квадратен корен

а) \(\sqrt{144} = 12\)

Проверка на равенството

б) \(\sqrt{2\frac{14}{25}} = 1,6\)

Проверка на равенството

в) \(\sqrt{(-10)^2} = -10\)

Проверка на равенството

г) \(\sqrt{3} = 1,7\)

Проверка на равенството

Кратък запис на решението:

а)

б)

в)

г)

Най-важното от урока

Задачи за упражнение

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Избери решение на задача:

Кратко решение

а)

б)

в)

г)

Подробно решение

Дефиниция за квадратен корен

а) \(\sqrt{144} = 12\)

Проверка на равенството

б) \(\sqrt{2\frac{14}{25}} = 1,6\)

Проверка на равенството

в) \(\sqrt{(-10)^2} = -10\)

Проверка на равенството

г) \(\sqrt{3} = 1,7\)

Проверка на равенството

Кратък запис на решението:

а)

б)

в)

г)

Задачи за упражнение

Надвий домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове: