67. Дробни Уравнения

а)

1. Определяме допустимите стойности (ДС)

Знаменателите са \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \), \( x+3 \) и \( x-3 \). \[ x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \] \[ x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \] ДС: \( x \neq \pm 3 \)

2. Освобождаваме се от знаменател и решаваме полученото уравнение

Общият знаменател е \( (x-3)(x+3) \). Умножаваме двете страни по \( (x-3)(x+3) \): \[ 18 = 1 \cdot (x-3) + x(x+3) \] \[ 18 = x - 3 + x^2 + 3x \] \[ x^2 + 4x - 21 = 0 \] Намираме корените чрез дискриминанта: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \] \[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm 10}{2} \] \[ x_1 = 3, \quad x_2 = -7 \]

3. Проверяваме корените с ДС

- \( x_1 = 3 \notin \text{ДС} \) (не е решение) - \( x_2 = -7 \in \text{ДС} \) Отговор: \( x = -7 \)

б)

1. Определяме допустимите стойности (ДС)

Знаменателите са \( 25 - x^2 = -(x-5)(x+5) \) и \( x+5 \). ДС: \( x \neq \pm 5 \)

2. Освобождаваме се от знаменател и решаваме полученото уравнение

Преобразуваме дробта: \[ -\frac{6}{x^2 - 25} + \frac{5}{x+5} = 1 \] Общият знаменател е \( (x-5)(x+5) \). Умножаваме двете страни по \( (x-5)(x+5) \): \[ -6 + 5(x-5) = x^2 - 25 \] \[ -6 + 5x - 25 = x^2 - 25 \] \[ 5x - 31 = x^2 - 25 \] \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] Намираме корените: \[ (x-2)(x-3) = 0 \] \[ x_1 = 2, \quad x_2 = 3 \]

3. Проверяваме корените с ДС

- \( x_1 = 2 \in \text{ДС} \) - \( x_2 = 3 \in \text{ДС} \) Отговор: \( x_1 = 2, x_2 = 3 \)

в)

1. Определяме допустимите стойности (ДС)

Знаменателите са \( x^2 - 36 = (x-6)(x+6) \) и \( x+6 \). ДС: \( x \neq \pm 6 \)

2. Освобождаваме се от знаменател и решаваме полученото уравнение

Общият знаменател е \( (x-6)(x+6) = x^2 - 36 \). \[ 1 \cdot (x^2 - 36) + 144 = 2x(x-6) \] \[ x^2 + 108 = 2x^2 - 12x \] \[ x^2 - 12x - 108 = 0 \] Намираме корените: \[ D_1 = k^2 - ac = (-6)^2 - 1 \cdot (-108) = 36 + 108 = 144 \] \[ x_{1,2} = 6 \pm \sqrt{144} = 6 \pm 12 \] \[ x_1 = 18, \quad x_2 = -6 \]

3. Проверяваме корените с ДС

- \( x_1 = 18 \in \text{ДС} \) - \( x_2 = -6 \notin \text{ДС} \) (не е решение) Отговор: \( x = 18 \)

г)

1. Разлагаме знаменателите и определяме ДС

- \( x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2) \) - \( 2x - x^2 = -x(x-2) \) - \( x+2 \) ДС: \( x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2 \)

2. Освобождаваме се от знаменател и решаваме полученото уравнение

Записваме уравнението във вида: \[ \frac{8}{x(x-2)(x+2)} - \frac{x}{x(x-2)} = \frac{1}{x+2} \] Съкращаваме втората дроб за \( x \neq 0 \): \[ \frac{8}{x(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x-2} = \frac{1}{x+2} \] Общият знаменател е \( x(x-2)(x+2) \). Умножаваме двете страни по него: \[ 8 - x(x+2) = x(x-2) \] \[ 8 - x^2 - 2x = x^2 - 2x \] \[ 8 - x^2 - \cancel{2x} = x^2 - \cancel{2x} \] \[ 2x^2 = 8 \] \[ x^2 = 4 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 2 \]

3. Проверяваме корените с ДС

- \( x_1 = 2 \notin \text{ДС} \) - \( x_2 = -2 \notin \text{ДС} \) Отговор: Уравнението няма решение

д)

1. Разлагаме знаменателите и определяме ДС

- \( 2x + 2 = 2(x+1) \) - \( x - 1 \) - \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \) ДС: \( x \neq \pm 1 \)

2. Освобождаваме се от знаменател и решаваме полученото уравнение

Общият знаменател е \( 2(x-1)(x+1) \). \[ \frac{1-x}{2(x+1)} = \frac{2}{x-1} - \frac{4}{(x-1)(x+1)} \] Умножаваме по \( 2(x-1)(x+1) \): \[ (1-x)(x-1) = 2 \cdot 2(x+1) - 4 \cdot 2 \] \[ -(x-1)^2 = 4x + 4 - 8 \] \[ -(x^2 - 2x + 1) = 4x - 4 \] \[ -x^2 + 2x - 1 = 4x - 4 \] \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Намираме корените: \[ (x+3)(x-1) = 0 \] \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -3 \]

3. Проверяваме корените с ДС

- \( x_1 = 1 \notin \text{ДС} \) - \( x_2 = -3 \in \text{ДС} \) Отговор: \( x = -3 \)

е)

1. Определяме допустимите стойности (ДС)

Тъй като \( x^2 + 2x + 4 = (x+1)^2 + 3 > 0 \) за всяко реално \( x \), единственият знаменател, който може да се анулира, е \( x - 2 \). ДС: \( x \neq 2 \)

2. Освобождаваме се от знаменател и решаваме полученото уравнение

\[ \frac{x}{x-2} - 1 = \frac{2x}{x^2+2x+4} \] \[ \frac{x - (x-2)}{x-2} = \frac{2x}{x^2+2x+4} \] \[ \frac{\cancel{x} - \cancel{x} + 2}{x-2} = \frac{2x}{x^2+2x+4} \] \[ \frac{2}{x-2} = \frac{2x}{x^2+2x+4} \] Делим двете страни на \( 2 \): \[ \frac{1}{x-2} = \frac{x}{x^2+2x+4} \] Умножаваме на кръст: \[ x^2 + 2x + 4 = x(x-2) \] \[ x^2 + 2x + 4 = x^2 - 2x \] \[ \cancel{x^2} + 2x + 4 = \cancel{x^2} - 2x \] \[ 4x = -4 \] \[ x = -1 \]

3. Проверяваме корена с ДС

- \( x = -1 \in \text{ДС} \) Отговор: \( x = -1 \)

а)

\[ \text{ДС: } x \neq \pm 3 \] \[ 18 = x - 3 + x^2 + 3x \Leftrightarrow x^2 + 4x - 21 = 0 \] \[ x_1 = 3 \notin \text{ДС}, x_2 = -7 \in \text{ДС} \Rightarrow x = -7 \]

б)

\[ \text{ДС: } x \neq \pm 5 \] \[ -6 + 5(x-5) = x^2 - 25 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \] \[ x_1 = 2 \in \text{ДС}, x_2 = 3 \in \text{ДС} \]

в)

\[ \text{ДС: } x \neq \pm 6 \] \[ x^2 + 108 = 2x^2 - 12x \Leftrightarrow x^2 - 12x - 108 = 0 \] \[ x_1 = 18 \in \text{ДС}, x_2 = -6 \notin \text{ДС} \Rightarrow x = 18 \]

г)

\[ \text{ДС: } x \neq 0, \pm 2 \] \[ 8 - x(x+2) = x(x-2) \Leftrightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm 2 \notin \text{ДС} \Rightarrow \emptyset \]

д)

\[ \text{ДС: } x \neq \pm 1 \] \[ -(x-1)^2 = 4x - 4 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \] \[ x_1 = 1 \notin \text{ДС}, x_2 = -3 \in \text{ДС} \Rightarrow x = -3 \]

е)

\[ \text{ДС: } x \neq 2 \] \[ \frac{2}{x-2} = \frac{2x}{x^2+2x+4} \Leftrightarrow x^2+2x+4 = x^2-2x \Leftrightarrow 4x = -4 \Rightarrow x = -1 \in \text{ДС} \]