31. Съкратена Формула За Корените На Квадратно Уравнение

а) \( x^2 - 12x + 32 = 0 \)

Стъпка 1: Определяне на коефициентите

Коефициентите на квадратното уравнение са: \[ a = 1, \quad b = -12 \implies k = \frac{b}{2} = -6, \quad c = 32 \]

Стъпка 2: Пресмятане на съкратената дискриминанта

\[ D_1 = k^2 - ac = (-6)^2 - 1 \cdot 32 = 36 - 32 = 4 > 0 \]

Стъпка 3: Намиране на корените

\[ x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{1} = 6 \pm 2 \] \[ x_1 = 6 + 2 = 8 \] \[ x_2 = 6 - 2 = 4 \] ---

б) \( y^2 - 10y - 25 = 0 \)

Стъпка 1: Определяне на коефициентите

Коефициентите на квадратното уравнение са: \[ a = 1, \quad b = -10 \implies k = \frac{b}{2} = -5, \quad c = -25 \]

Стъпка 2: Пресмятане на съкратената дискриминанта

\[ D_1 = k^2 - ac = (-5)^2 - 1 \cdot (-25) = 25 + 25 = 50 > 0 \]

Стъпка 3: Намиране на корените

\[ y_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{50}}{1} = 5 \pm \sqrt{25 \cdot 2} = 5 \pm 5\sqrt{2} \] \[ y_1 = 5 + 5\sqrt{2}, \quad y_2 = 5 - 5\sqrt{2} \] ---

в) \( z^2 - 22z - 23 = 0 \)

Стъпка 1: Определяне на коефициентите

Коефициентите на квадратното уравнение са: \[ a = 1, \quad b = -22 \implies k = \frac{b}{2} = -11, \quad c = -23 \]

Стъпка 2: Пресмятане на съкратената дискриминанта

\[ D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 1 \cdot (-23) = 121 + 23 = 144 > 0 \]

Стъпка 3: Намиране на корените

\[ z_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{144}}{1} = 11 \pm 12 \] \[ z_1 = 11 + 12 = 23 \] \[ z_2 = 11 - 12 = -1 \] ---

г) \( 8x^2 - 14x + 5 = 0 \)

Стъпка 1: Определяне на коефициентите

Коефициентите на квадратното уравнение са: \[ a = 8, \quad b = -14 \implies k = \frac{b}{2} = -7, \quad c = 5 \]

Стъпка 2: Пресмятане на съкратената дискриминанта

\[ D_1 = k^2 - ac = (-7)^2 - 8 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 > 0 \]

Стъпка 3: Намиране на корените

\[ x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{9}}{8} = \frac{7 \pm 3}{8} \] \[ x_1 = \frac{7 + 3}{8} = \frac{\cancel{10}^5}{\cancel{8}_4} = \frac{5}{4} \] \[ x_2 = \frac{7 - 3}{8} = \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{8}_2} = \frac{1}{2} \] ---

д) \( 4x^2 + 4x + 1 = 0 \)

Стъпка 1: Определяне на коефициентите

Коефициентите на квадратното уравнение са: \[ a = 4, \quad b = 4 \implies k = \frac{b}{2} = 2, \quad c = 1 \]

Стъпка 2: Пресмятане на съкратената дискриминанта

\[ D_1 = k^2 - ac = 2^2 - 4 \cdot 1 = 4 - 4 = 0 \]

Стъпка 3: Намиране на двойния корен

\[ x_1 = x_2 = -\frac{k}{a} = -\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{4}_2} = -\frac{1}{2} \] ---

е) \( 5y^2 + 26y - 24 = 0 \)

Стъпка 1: Определяне на коефициентите

Коефициентите на квадратното уравнение са: \[ a = 5, \quad b = 26 \implies k = \frac{b}{2} = 13, \quad c = -24 \]

Стъпка 2: Пресмятане на съкратената дискриминанта

\[ D_1 = k^2 - ac = 13^2 - 5 \cdot (-24) = 169 + 120 = 289 > 0 \]

Стъпка 3: Намиране на корените

\[ y_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-13 \pm \sqrt{289}}{5} = \frac{-13 \pm 17}{5} \] \[ y_1 = \frac{-13 + 17}{5} = \frac{4}{5} \] \[ y_2 = \frac{-13 - 17}{5} = \frac{-30}{5} = -6 \] ---

ж) \( 36p^2 - 12p + 1 = 0 \)

Стъпка 1: Определяне на коефициентите

Коефициентите на квадратното уравнение са: \[ a = 36, \quad b = -12 \implies k = \frac{b}{2} = -6, \quad c = 1 \]

Стъпка 2: Пресмятане на съкратената дискриминанта

\[ D_1 = k^2 - ac = (-6)^2 - 36 \cdot 1 = 36 - 36 = 0 \]

Стъпка 3: Намиране на двойния корен

\[ p_1 = p_2 = -\frac{k}{a} = -\frac{-6}{36} = \frac{\cancel{6}^1}{\cancel{36}_6} = \frac{1}{6} \] ---

з) \( 4x^2 - 36x + 77 = 0 \)

Стъпка 1: Определяне на коефициентите

Коефициентите на квадратното уравнение са: \[ a = 4, \quad b = -36 \implies k = \frac{b}{2} = -18, \quad c = 77 \]

Стъпка 2: Пресмятане на съкратената дискриминанта

\[ D_1 = k^2 - ac = (-18)^2 - 4 \cdot 77 = 324 - 308 = 16 > 0 \]

Стъпка 3: Намиране на корените

\[ x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-18) \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{18 \pm 4}{4} \] \[ x_1 = \frac{18 + 4}{4} = \frac{\cancel{22}^{11}}{\cancel{4}_2} = \frac{11}{2} = 5,5 \] \[ x_2 = \frac{18 - 4}{4} = \frac{\cancel{14}^7}{\cancel{4}_2} = \frac{7}{2} = 3,5 \] ---

и) \( y^2 - 34y + 289 = 0 \)

Стъпка 1: Определяне на коефициентите

Коефициентите на квадратното уравнение са: \[ a = 1, \quad b = -34 \implies k = \frac{b}{2} = -17, \quad c = 289 \]

Стъпка 2: Пресмятане на съкратената дискриминанта

\[ D_1 = k^2 - ac = (-17)^2 - 1 \cdot 289 = 289 - 289 = 0 \]

Стъпка 3: Намиране на двойния корен

\[ y_1 = y_2 = -\frac{k}{a} = -\frac{-17}{1} = 17 \]

а)

\( x^2 - 12x + 32 = 0 \implies D_1 = (-6)^2 - 32 = 4 \implies x_{1,2} = 6 \pm 2 \implies x_1 = 8; x_2 = 4 \)

б)

\( y^2 - 10y - 25 = 0 \implies D_1 = (-5)^2 + 25 = 50 \implies y_{1,2} = 5 \pm 5\sqrt{2} \)

в)

\( z^2 - 22z - 23 = 0 \implies D_1 = (-11)^2 + 23 = 144 \implies z_{1,2} = 11 \pm 12 \implies z_1 = 23; z_2 = -1 \)

г)

\( 8x^2 - 14x + 5 = 0 \implies D_1 = (-7)^2 - 40 = 9 \implies x_{1,2} = \frac{7 \pm 3}{8} \implies x_1 = \frac{5}{4}; x_2 = \frac{1}{2} \)

д)

\( 4x^2 + 4x + 1 = 0 \implies D_1 = 2^2 - 4 = 0 \implies x_1 = x_2 = -\frac{1}{2} \)

е)

\( 5y^2 + 26y - 24 = 0 \implies D_1 = 13^2 + 120 = 289 \implies y_{1,2} = \frac{-13 \pm 17}{5} \implies y_1 = \frac{4}{5}; y_2 = -6 \)

ж)

\( 36p^2 - 12p + 1 = 0 \implies D_1 = (-6)^2 - 36 = 0 \implies p_1 = p_2 = \frac{1}{6} \)

з)

\( 4x^2 - 36x + 77 = 0 \implies D_1 = (-18)^2 - 308 = 16 \implies x_{1,2} = \frac{18 \pm 4}{4} \implies x_1 = \frac{11}{2}; x_2 = \frac{7}{2} \)

и)

\( y^2 - 34y + 289 = 0 \implies D_1 = (-17)^2 - 289 = 0 \implies y_1 = y_2 = 17 \)