Най-важното от урока
Общ член: Всяка геометрична прогресия се определя от формула \(a_n = a_1 q^{n-1}\), където \(q\) е частното.
Свойства: Квадратът на всеки член (без първия) е равен на произведението на съседните му (\(a_n^2 = a_{n-1} a_{n+1}\)). Произведенията на членовете с равни сборове на индексите са равни.
Сума: Сборът от първите \(n\) члена се пресмята по формулата \(S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\) при \(q \neq 1\).
Свойства: Квадратът на всеки член (без първия) е равен на произведението на съседните му (\(a_n^2 = a_{n-1} a_{n+1}\)). Произведенията на членовете с равни сборове на индексите са равни.
Сума: Сборът от първите \(n\) члена се пресмята по формулата \(S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\) при \(q \neq 1\).
Числова редица, в която всеки член след първия се получава, като предходният му член се умножи с едно и също число, се нарича геометрична прогресия.
Знакът за геометрична прогресия е \(\div\div\). Обикновено записваме \(\div\div a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\). Числото, с което умножаваме, се нарича частно и се отбелязва с \(q\).
Формула за общия член:
\[ a_n = a_1 q^{n-1} \]
където \(a_1\) е първият член, \(q\) е частното, а \(n\) е поредният номер на члена (\(n \geq 1\)).
Ако \(a_1 = 3\) и \(q = 2\), тогава седмият член на прогресията е:
\[ a_7 = 3 \cdot 2^{7-1} = 3 \cdot 2^6 = 3 \cdot 64 = 192 \]
Свойство 1 (Връзка между съседни членове): Всеки член след първия е средногеометричен на съседните му членове.
\[ a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1} \quad \text{за } n \ge 2 \]
Свойство 2 (Произведение на равноотдалечени членове): В крайна геометрична прогресия произведението на два члена, равноотдалечени от крайните ѝ членове, е равно на произведението на двата крайни члена.
По-общо: ако сборът от индексите на два члена е равен на сбора от индексите на други два, то произведенията им са равни.
\[ a_k \cdot a_{n-k+1} = a_1 \cdot a_n \]
\[ \text{Ако } p+r = s+t, \text{ то } a_p \cdot a_r = a_s \cdot a_t \]
За коя стойност на \(x\) числата \(x\), \(x+4\) и \(18\) са последователни членове на геометрична прогресия?
Прилагаме Свойство 1:
\[ (x+4)^2 = x \cdot 18 \]
\[ x^2 + 8x + 16 = 18x \]
\[ x^2 - 10x + 16 = 0 \]
\[ (x-2)(x-8) = 0 \]
Отговор: При \(x = 2\) и \(x = 8\).
Сборът на първите \(n\) члена на геометрична прогресия се бележи със \(S_n\).
Формула за сбора (\(S_n\)):
\[ S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} \]
Важи при \(q \neq 1\).
Формулата може да се запише и във вида \(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\), което е особено удобно за пресмятане, когато \(|q| < 1\).
За геометрична прогресия с \(a_1 = 3\) и \(q = 2\), сборът на първите 7 члена е:
\[ S_7 = \frac{3(2^7 - 1)}{2 - 1} = \frac{3(128 - 1)}{1} = 3 \cdot 127 = 381 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете петия член (\(a_5\)) на геометрична прогресия, ако \(a_1 = -3\) и \(q = 2\).
Използваме формулата за общия член: \( a_n = a_1 q^{n-1} \)
\( a_5 = -3 \cdot 2^{5-1} \)
\( a_5 = -3 \cdot 2^4 \)
\( a_5 = -3 \cdot 16 = -48 \)
Отговор: \(-48\)
\( a_5 = -3 \cdot 2^{5-1} \)
\( a_5 = -3 \cdot 2^4 \)
\( a_5 = -3 \cdot 16 = -48 \)
Отговор: \(-48\)
Средна: Намерете броя на членовете \(n\) на геометрична прогресия, за която \(a_1 = 1\), \(q = 2\) и сборът от първите \(n\) члена е \(S_n = 31\).
Използваме формулата за сума: \( S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} \)
\( 31 = \frac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} \)
\( 31 = \frac{2^n - 1}{1} \)
\( 31 = 2^n - 1 \)
\( 32 = 2^n \)
Тъй като \(32 = 2^5\), следва че \(n = 5\).
Отговор: \(n = 5\)
\( 31 = \frac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} \)
\( 31 = \frac{2^n - 1}{1} \)
\( 31 = 2^n - 1 \)
\( 32 = 2^n \)
Тъй като \(32 = 2^5\), следва че \(n = 5\).
Отговор: \(n = 5\)
Трудна: Пет числа са последователни членове на геометрична прогресия. Ако произведението им е 32, намерете средния (третия) член на прогресията.
Нека членовете са \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\).
Според Свойство 2 за равноотдалечените членове знаем, че:
\( a_1 \cdot a_5 = a_3^2 \)
\( a_2 \cdot a_4 = a_3^2 \)
Произведението на петте члена е:
\( P = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 = (a_1 \cdot a_5) \cdot (a_2 \cdot a_4) \cdot a_3 \)
\( P = a_3^2 \cdot a_3^2 \cdot a_3 = a_3^5 \)
По условие \(P = 32\), следователно:
\( a_3^5 = 32 \)
\( a_3 = \sqrt[5]{32} = 2 \)
Отговор: Средният член е \(2\).
Според Свойство 2 за равноотдалечените членове знаем, че:
\( a_1 \cdot a_5 = a_3^2 \)
\( a_2 \cdot a_4 = a_3^2 \)
Произведението на петте члена е:
\( P = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 = (a_1 \cdot a_5) \cdot (a_2 \cdot a_4) \cdot a_3 \)
\( P = a_3^2 \cdot a_3^2 \cdot a_3 = a_3^5 \)
По условие \(P = 32\), следователно:
\( a_3^5 = 32 \)
\( a_3 = \sqrt[5]{32} = 2 \)
Отговор: Средният член е \(2\).
