Най-важното от урока
Средно аритметично: Сумирай всички стойности и раздели на броя им. (Пример: \( (4+5+6)/3 = 5 \) )
Медиана: Средната стойност в подреден ред. (Пример: За `4, 5, 8, 9, 9`, медианата е `8`. За `4, 5, 8, 9`, медианата е \( (5+8)/2 = 6.5 \) )
Мода: Най-често срещаната стойност. (Пример: За `4, 5, 8, 9, 9`, модата е `9`. )
Медиана: Средната стойност в подреден ред. (Пример: За `4, 5, 8, 9, 9`, медианата е `8`. За `4, 5, 8, 9`, медианата е \( (5+8)/2 = 6.5 \) )
Мода: Най-често срещаната стойност. (Пример: За `4, 5, 8, 9, 9`, модата е `9`. )
Средната аритметична стойност е сумата от всички стойности в един набор от данни, разделена на техния брой. Това е най-често използваният показател за "център" на данните.
\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \]
\(x_1, x_2, \dots\) са индивидуалните стойности, а \(n\) е техният брой.
Ако данните са групирани по честота, всяка стойност се умножава по нейната честота преди сумирането:
\[ \bar{x} = \frac{x_1f_1 + x_2f_2 + \dots + x_kf_k}{n} \]
Да намерим средната аритметична стойност на числата: 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8.
\[ \bar{x} = \frac{4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 7 + 8}{8} = \frac{44}{8} = 5,5 \]
\[ \bar{x} = \frac{4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 7 + 8}{8} = \frac{44}{8} = 5,5 \]
Един ученик има следните оценки по математика: 6, 5, 6, 4. Каква е средната му оценка?
\[ \bar{x} = \frac{6 + 5 + 6 + 4}{4} = \frac{21}{4} = 5,25 \]
Средната оценка на ученика е 5,25.
Медианата е стойността, която разделя един подреден по големина набор от данни на две равни части. Нарича се още "средна по положение".
Подреждане: Винаги първо подреждайте данните във възходящ (или низходящ) ред.
Намиране на средата:
- Ако броят на стойностите (\(n\)) е нечетен, медианата е точно средният елемент.
- Ако броят на стойностите (\(n\)) е четен, медианата е средното аритметично на двата централни елемента.
При нечетен брой данни: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 7. (\(n=7\))
Медианата е средният (четвърти) елемент, т.е. \(\text{Me} = 4\).
При четен брой данни: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7. (\(n=8\))
Двата средни елемента са 4 и 5. Медианата е \(\text{Me} = \frac{4+5}{2} = 4,5\).
Медианата е средният (четвърти) елемент, т.е. \(\text{Me} = 4\).
При четен брой данни: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7. (\(n=8\))
Двата средни елемента са 4 и 5. Медианата е \(\text{Me} = \frac{4+5}{2} = 4,5\).
Намерете медианата на възрастите: 15, 12, 17, 11, 15.
1. Подреждаме данните: 11, 12, 15, 15, 17.
2. Броят им е 5 (нечетен), така че медианата е средният (трети) елемент.
Отговор: \(\text{Me} = 15\).
2. Броят им е 5 (нечетен), така че медианата е средният (трети) елемент.
Отговор: \(\text{Me} = 15\).
Модата е стойността, която се среща най-често в един набор от данни.
Един набор от данни може да има една мода (унимодален), две моди (бимодален), повече от две (мултимодален) или да няма мода, ако никоя стойност не се повтаря.
В реда от данни: 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 9
Стойностите '3' и '5' се срещат по 3 пъти, което е най-високата честота. Следователно редът има две моди: \(\text{Mo}_1 = 3\) и \(\text{Mo}_2 = 5\).
Стойностите '3' и '5' се срещат по 3 пъти, което е най-високата честота. Следователно редът има две моди: \(\text{Mo}_1 = 3\) и \(\text{Mo}_2 = 5\).
Група ученици били попитани за любимия им цвят. Отговорите били: син, зелен, син, червен, жълт, син. Коя е модата?
Цветът "син" се среща 3 пъти, което е по-често от всички останали.
Отговор: Модата е "син".
Отговор: Модата е "син".
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете модата и медианата на реда: 15, 12, 17, 12, 20, 12.
Подреден ред: 12, 12, 12, 15, 17, 20.
Мода: Най-често срещаното число е 12. \(\text{Mo} = 12\).
Медиана: Броят на числата е 6 (четен). Вземаме средното на двете централни (третото и четвъртото): \(\text{Me} = \frac{12+15}{2} = 13,5\).
Мода: Най-често срещаното число е 12. \(\text{Mo} = 12\).
Медиана: Броят на числата е 6 (четен). Вземаме средното на двете централни (третото и четвъртото): \(\text{Me} = \frac{12+15}{2} = 13,5\).
Средна: Температурите, измерени в 7 последователни дни, са: 22°C, 25°C, 24°C, 22°C, 23°C, 22°C, 26°C. Намерете средната температура, медианата и модата.
Средна температура: \(\bar{x} = \frac{22+25+24+22+23+22+26}{7} = \frac{164}{7} \approx 23,43^\circ C\).
Медиана: Първо подреждаме: 22, 22, 22, 23, 24, 25, 26. Средният елемент (четвъртият) е 23. \(\text{Me} = 23^\circ C\).
Мода: Най-често срещаната температура е 22°C (3 пъти). \(\text{Mo} = 22^\circ C\).
Медиана: Първо подреждаме: 22, 22, 22, 23, 24, 25, 26. Средният елемент (четвъртият) е 23. \(\text{Me} = 23^\circ C\).
Мода: Най-често срещаната температура е 22°C (3 пъти). \(\text{Mo} = 22^\circ C\).
Трудна: Средният успех на петима ученици е 5.20. Четирима от тях имат успехи 6.00, 5.50, 4.50 и 5.00. Какъв е успехът на петия ученик?
1. Намираме общата сума от успехите на петимата ученици: \(\text{Обща сума} = \text{среден успех} \cdot \text{брой ученици} = 5,20 \cdot 5 = 26,00\).
2. Намираме сумата от успехите на известните четирима: \(6,00 + 5,50 + 4,50 + 5,00 = 21,00\).
3. Изваждаме сумата на четиримата от общата сума, за да намерим успеха на петия: \(26,00 - 21,00 = 5,00\).
Отговор: Успехът на петия ученик е 5,00.
2. Намираме сумата от успехите на известните четирима: \(6,00 + 5,50 + 4,50 + 5,00 = 21,00\).
3. Изваждаме сумата на четиримата от общата сума, за да намерим успеха на петия: \(26,00 - 21,00 = 5,00\).
Отговор: Успехът на петия ученик е 5,00.
