Най-важното от урока
Ортогонална проекция: "Сянката", която фигура хвърля върху равнина, когато светлината идва перпендикулярно отгоре.
Ъгъл между права и равнина: Ъгълът, който правата сключва със своята "сянка" (проекция).
Формула за дължина на проекция: \(L_{проекция} = L_{оригинал} \cdot \cos{\varphi}\). Пример: Ако прът от 2m е наклонен под \(60^\circ\), сянката му е \(2 \cdot \cos{60^\circ} = 1\) m.
Теорема за трите перпендикуляра: Наклонена е перпендикулярна на права в равнината \(\iff\) нейната проекция е перпендикулярна на същата права.
Разстояние: Най-късият път от точка до равнина винаги е по перпендикуляра.
Ъгъл между права и равнина: Ъгълът, който правата сключва със своята "сянка" (проекция).
Формула за дължина на проекция: \(L_{проекция} = L_{оригинал} \cdot \cos{\varphi}\). Пример: Ако прът от 2m е наклонен под \(60^\circ\), сянката му е \(2 \cdot \cos{60^\circ} = 1\) m.
Теорема за трите перпендикуляра: Наклонена е перпендикулярна на права в равнината \(\iff\) нейната проекция е перпендикулярна на същата права.
Разстояние: Най-късият път от точка до равнина винаги е по перпендикуляра.
Ортогонална проекция на точка \(M\) върху равнина \(\pi\) е точката \(M_1\), в която перпендикулярът, спуснат от \(M\) към \(\pi\), пресича равнината. Проекцията на фигура е множеството от проекциите на всички нейни точки.
Проекцията на права, перпендикулярна на равнината, е точка.
Проекцията на права, която не е перпендикулярна на равнината, е права.
Проекцията на права, която не е перпендикулярна на равнината, е права.
Даден е куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Каква е ортогоналната проекция на отсечката \(A_1C_1\) върху равнината на основата \((ABCD)\)?
Проекцията на \(A_1\) е \(A\), а проекцията на \(C_1\) е \(C\). Следователно, проекцията на отсечката \(A_1C_1\) е отсечката \(AC\).
Ъгъл между права и равнина е острият ъгъл \(\varphi\), който правата сключва със своята ортогонална проекция върху равнината.
Ако правата е успоредна на равнината, ъгълът е \(0^\circ\). Ако е перпендикулярна на равнината, ъгълът е \(90^\circ\).
Дължината на ортогоналната проекция \(A_1B_1\) на отсечка \(AB\) се изчислява по формулата:
\[ A_1B_1 = AB \cdot \cos{\varphi} \]
където \(\varphi\) е ъгълът между правата \(AB\) и равнината.
Отсечка с дължина 10 cm сключва ъгъл \(60^\circ\) с равнина. Намерете дължината на нейната ортогонална проекция.
Прилагаме формулата: \(L_{проекция} = 10 \cdot \cos{60^\circ} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\) cm.
Нека \(a\) е права, наклонена към равнина \(\pi\), а \(a_1\) е нейната ортогонална проекция. Права \(b\), лежаща в \(\pi\), е перпендикулярна на наклонената \(a\) тогава и само тогава, когато е перпендикулярна на проекцията \(a_1\).
\[ b \subset \pi, \quad b \perp a \iff b \perp a_1 \]
Даден е куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Проекцията на пространствения диагонал \(AC_1\) върху основата \((ABCD)\) е диагоналът \(AC\). Тъй като диагоналите в квадрата са перпендикулярни (\(BD \perp AC\)), от ТТП следва, че \(BD\) е перпендикулярна и на наклонената \(AC_1\).
От върха \(A\) на \(\triangle ABC\) е издигнат перпендикуляр \(AD\) към равнината на триъгълника. Ако \(AB=AC\), докажете, че \(DM \perp BC\), където \(M\) е средата на \(BC\).
Проекцията на наклонената \(DM\) в равнината \((ABC)\) е медианата \(AM\). Тъй като \(\triangle ABC\) е равнобедрен, медианата към основата \(AM\) е и височина, т.е. \(AM \perp BC\). От ТТП следва, че щом проекцията \(AM\) е перпендикулярна на \(BC\), то и наклонената \(DM\) е перпендикулярна на \(BC\).
Разстояние от точка до равнина е дължината на перпендикуляра, спуснат от точката към равнината. Перпендикулярът е най-късото разстояние. Всяка друга отсечка от точката до равнината се нарича наклонена.
- Перпендикулярът е по-къс от всяка наклонена. (\(MM_1 < MA\))
- Наклонени с равни проекции върху равнината са равни. (\(M_1A = M_1B \implies MA = MB\))
- От две наклонени, по-дълга е тази с по-дълга проекция. (\(M_1A > M_1B \implies MA > MB\))
От точка \(M\), вън от равнина \(\alpha\), са прекарани перпендикуляр \(MO\) и наклонена \(MA=13\) cm. Ако проекцията \(OA=5\) cm, намерете разстоянието от \(M\) до равнината.
\(\triangle MOA\) е правоъгълен (\(\angle MOA=90^\circ\)). От Питагорова теорема: \(MO^2 = MA^2 - OA^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\).
Разстоянието е \(MO = \sqrt{144} = 12\) cm.
Разстоянието е \(MO = \sqrt{144} = 12\) cm.
Задачи за упражнение
Лесна: Отсечка с дължина 16 cm образува ъгъл \(30^\circ\) с равнина. Намерете дължината на нейната ортогонална проекция.
\(L_{проекция} = L \cdot \cos{\varphi} = 16 \cdot \cos{30^\circ} = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\) cm.
Средна: От точка, отдалечена на 8 cm от дадена равнина, е прекарана наклонена с дължина 17 cm. Намерете дължината на проекцията на наклонената и косинуса на ъгъла между наклонената и равнината.
Нека перпендикулярът е \(h=8\), а наклонената е \(l=17\). Дължината на проекцията \(p\) намираме от Питагорова теорема:
\(p^2 = l^2 - h^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225 \implies p = 15\) cm.
Косинусът на ъгъла \(\varphi\) е отношението на проекцията към наклонената:
\(\cos{\varphi} = \frac{p}{l} = \frac{15}{17}\).
\(p^2 = l^2 - h^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225 \implies p = 15\) cm.
Косинусът на ъгъла \(\varphi\) е отношението на проекцията към наклонената:
\(\cos{\varphi} = \frac{p}{l} = \frac{15}{17}\).
Трудна: От върха \(C\) на квадрат \(ABCD\) със страна 6 cm е издигнат перпендикуляр \(CM\) към равнината на квадрата. Намерете дължината на \(CM\), ако разстоянието от точка \(M\) до диагонала \(BD\) е 5 cm.
1. Разстоянието от \(M\) до \(BD\) е дължината на перпендикуляра от \(M\) до \(BD\). Нека петата на този перпендикуляр е точка \(O\). Значи \(MO=5\) cm и \(MO \perp BD\).
2. Проекцията на наклонената \(MO\) в равнината \((ABCD)\) е отсечката \(CO\), където \(O\) е пресечната точка на диагоналите.
3. Тъй като \(MO \perp BD\), от ТТП следва, че и проекцията \(CO \perp BD\). Това е вярно, защото диагоналите на квадрата са перпендикулярни.
4. Намираме дължината на \(CO\). Диагоналът \(AC = \sqrt{6^2+6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\) cm. Точка \(O\) е средата на \(AC\), следователно \(CO = \frac{1}{2}AC = 3\sqrt{2}\) cm.
5. Разглеждаме правоъгълния \(\triangle MCO\) (\(\angle MCO = 90^\circ\)). От Питагорова теорема: \(CM^2 + CO^2 = MO^2\).
\(CM^2 + (3\sqrt{2})^2 = 5^2\)
\(CM^2 + 18 = 25\)
\(CM^2 = 7 \implies CM = \sqrt{7}\) cm.
2. Проекцията на наклонената \(MO\) в равнината \((ABCD)\) е отсечката \(CO\), където \(O\) е пресечната точка на диагоналите.
3. Тъй като \(MO \perp BD\), от ТТП следва, че и проекцията \(CO \perp BD\). Това е вярно, защото диагоналите на квадрата са перпендикулярни.
4. Намираме дължината на \(CO\). Диагоналът \(AC = \sqrt{6^2+6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\) cm. Точка \(O\) е средата на \(AC\), следователно \(CO = \frac{1}{2}AC = 3\sqrt{2}\) cm.
5. Разглеждаме правоъгълния \(\triangle MCO\) (\(\angle MCO = 90^\circ\)). От Питагорова теорема: \(CM^2 + CO^2 = MO^2\).
\(CM^2 + (3\sqrt{2})^2 = 5^2\)
\(CM^2 + 18 = 25\)
\(CM^2 = 7 \implies CM = \sqrt{7}\) cm.
