Най-важното от урока
Синус и Косинус: Стойностите им са y и x координатите на точката, в която второто рамо на ъгъла пресича единичната окръжност. \(\sin \alpha = y_M\), \(\cos \alpha = x_M\).
Периодичност: Функциите се повтарят на всеки \(360^\circ\). Това позволява да сведем всеки голям или отрицателен ъгъл до ъгъл в интервала \([0^\circ; 360^\circ)\). Пример: \(\cos(750^\circ) = \cos(30^\circ + 2 \cdot 360^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Тангенс и Котангенс: Дефинират се като \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и \(\operatorname{cotg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\).
Периодичност: Функциите се повтарят на всеки \(360^\circ\). Това позволява да сведем всеки голям или отрицателен ъгъл до ъгъл в интервала \([0^\circ; 360^\circ)\). Пример: \(\cos(750^\circ) = \cos(30^\circ + 2 \cdot 360^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Тангенс и Котангенс: Дефинират се като \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и \(\operatorname{cotg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\).
За произволен обобщен ъгъл \(\alpha\), чието второ рамо пресича единичната окръжност в точка \(M(x_M, y_M)\), дефинираме:
- Синус на ъгъла е ординатата (y-координатата) на точката М.
- Косинус на ъгъла е абсцисата (x-координатата) на точката М.
\[ \sin \alpha = y_M \]
\[ \cos \alpha = x_M \]
Ако \(\alpha = 90^\circ\), второто рамо на ъгъла съвпада с положителната част на оста \(Oy\). Точката на пресичане с единичната окръжност е \(M(0, 1)\). Следователно:
\(\sin 90^\circ = y_M = 1\)
\(\cos 90^\circ = x_M = 0\)
\(\sin 90^\circ = y_M = 1\)
\(\cos 90^\circ = x_M = 0\)
Намерете стойностите на \(\sin 180^\circ\) и \(\cos 180^\circ\).
При \(\alpha = 180^\circ\), точката на пресичане е \(M(-1, 0)\).
Отговор: \(\sin 180^\circ = 0\) и \(\cos 180^\circ = -1\).
Отговор: \(\sin 180^\circ = 0\) и \(\cos 180^\circ = -1\).
Стойностите на синус и косинус се повтарят през интервал от \(360^\circ\) (или \(2\pi\) радиана), тъй като добавянето на пълна окръжност към ъгъла не променя положението на второто му рамо.
\[\sin (\alpha + k \cdot 360^\circ) = \sin \alpha, \quad k \in \mathbb{Z}\]
\[\cos (\alpha + k \cdot 360^\circ) = \cos \alpha, \quad k \in \mathbb{Z}\]
където \(\mathbb{Z}\) е множеството на целите числа.
За да намерим \(\sin 390^\circ\), представяме ъгъла като \(390^\circ = 30^\circ + 1 \cdot 360^\circ\).
Следователно, \(\sin 390^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).
Следователно, \(\sin 390^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).
Намерете стойността на \(\cos(-300^\circ)\).
Можем да добавим \(360^\circ\), за да получим еквивалентен ъгъл: \(-300^\circ + 360^\circ = 60^\circ\).
Отговор: \(\cos(-300^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\).
Отговор: \(\cos(-300^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\).
Функциите тангенс (\(\operatorname{tg}\)) и котангенс (\(\operatorname{cotg}\)) се дефинират като отношения между синус и косинус.
\[\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \text{за } \cos \alpha \ne 0 \quad (\alpha \ne 90^\circ + k \cdot 180^\circ)\]
\[\operatorname{cotg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \quad \text{за } \sin \alpha \ne 0 \quad (\alpha \ne k \cdot 180^\circ)\]
Тангенс не е дефиниран, когато косинусът е 0 (при \(90^\circ, 270^\circ, \ldots\)), а котангенс не е дефиниран, когато синусът е 0 (при \(0^\circ, 180^\circ, \ldots\)).
\(\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Намерете стойността на \(\operatorname{cotg}(-600^\circ)\).
Първо намираме еквивалентния ъгъл: \(-600^\circ = 120^\circ - 2 \cdot 360^\circ\).
\(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\).
\(\operatorname{cotg}(-600^\circ) = \operatorname{cotg} 120^\circ = \frac{\cos 120^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{-1/2}{\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\).
\(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\).
\(\operatorname{cotg}(-600^\circ) = \operatorname{cotg} 120^\circ = \frac{\cos 120^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{-1/2}{\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете стойността на \(\sin(450^\circ)\).
Представяме \(450^\circ = 90^\circ + 1 \cdot 360^\circ\).
\(\sin(450^\circ) = \sin(90^\circ) = 1\).
\(\sin(450^\circ) = \sin(90^\circ) = 1\).
Средна: Намерете стойностите на \(\sin\), \(\cos\), \(\operatorname{tg}\) и \(\operatorname{cotg}\) за ъгъл \(\alpha = 1305^\circ\).
Първо, редуцираме ъгъла: \(1305^\circ = 225^\circ + 3 \cdot 360^\circ\).
Второто рамо на ъгъла е в трети квадрант. Точката М има координати \(M(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})\).
Второто рамо на ъгъла е в трети квадрант. Точката М има координати \(M(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})\).
- \(\sin 1305^\circ = \sin 225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\cos 1305^\circ = \cos 225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\operatorname{tg} 1305^\circ = \frac{\sin 225^\circ}{\cos 225^\circ} = \frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = 1\)
- \(\operatorname{cotg} 1305^\circ = \frac{\cos 225^\circ}{\sin 225^\circ} = 1\)
Трудна: Пресметнете стойността на израза: \(A = \sin(-750^\circ) + 2\cos(-600^\circ)\).
1. Намираме стойността на \(\sin(-750^\circ)\):
\(-750^\circ = -30^\circ - 2 \cdot 360^\circ \Rightarrow \sin(-750^\circ) = \sin(-30^\circ) = -\frac{1}{2}\).
2. Намираме стойността на \(\cos(-600^\circ)\):
\(-600^\circ = 120^\circ - 2 \cdot 360^\circ \Rightarrow \cos(-600^\circ) = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\).
3. Заместваме в израза:
\(A = -\frac{1}{2} + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}\).
\(-750^\circ = -30^\circ - 2 \cdot 360^\circ \Rightarrow \sin(-750^\circ) = \sin(-30^\circ) = -\frac{1}{2}\).
2. Намираме стойността на \(\cos(-600^\circ)\):
\(-600^\circ = 120^\circ - 2 \cdot 360^\circ \Rightarrow \cos(-600^\circ) = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\).
3. Заместваме в израза:
\(A = -\frac{1}{2} + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}\).
