Най-важното от урока
Косинус от сбор/разлика: \(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta\). (Знакът се сменя!)
Пример: \(\cos(45+30) = \cos45\cos30 - \sin45\sin30\)
Синус от сбор/разлика: \(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta\). (Знакът се запазва!)
Пример: \(\sin(45-30) = \sin45\cos30 - \cos45\sin30\)
Пример: \(\cos(45+30) = \cos45\cos30 - \sin45\sin30\)
Синус от сбор/разлика: \(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta\). (Знакът се запазва!)
Пример: \(\sin(45-30) = \sin45\cos30 - \cos45\sin30\)
Формулите за косинус от сбор или разлика на два ъгъла \(\alpha\) и \(\beta\) се запомнят с правилото: "косинус по косинус, синус по синус, със сменен знак по средата".
\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \]
При сбор на ъглите, в средата е знак минус.
\[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \]
При разлика на ъглите, в средата е знак плюс.
Пресмятане на \(\cos(75^\circ)\) като сбор на два познати ъгъла:
\[ \cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos45^\circ\cos30^\circ - \sin45^\circ\sin30^\circ \]
\[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]
Опростете израза: \( \cos 47^\circ \cos 17^\circ + \sin 47^\circ \sin 17^\circ \).
Изразът съответства на формулата за \(\cos(\alpha - \beta)\).
\( \cos(47^\circ - 17^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \cos(47^\circ - 17^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Формулите за синус от сбор или разлика се запомнят с правилото: "синус по косинус, косинус по синус, със запазен знак по средата".
\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \]
При сбор на ъглите, в средата е знак плюс.
\[ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \]
При разлика на ъглите, в средата е знак минус.
Пресмятане на \(\sin(15^\circ)\) като разлика на два познати ъгъла:
\[ \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin45^\circ\cos30^\circ - \cos45^\circ\sin30^\circ \]
\[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]
Опростете израза: \( \sin 29^\circ \cos 31^\circ + \cos 29^\circ \sin 31^\circ \).
Изразът съответства на формулата за \(\sin(\alpha + \beta)\).
\( \sin(29^\circ + 31^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \sin(29^\circ + 31^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Тези формули свързват синус и косинус на ъгли, чийто сбор е \(90^\circ\) (\(\frac{\pi}{2}\)). Те са следствие от събирателните формули.
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha \]
\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha \]
Стойността на \(\sin(70^\circ)\) е равна на стойността на \(\cos(90^\circ-70^\circ) = \cos(20^\circ)\).
Намерете стойността на \(\cos(80^\circ)\), ако \(\sin(10^\circ) \approx 0.17\).
\(\cos(80^\circ) = \sin(90^\circ - 80^\circ) = \sin(10^\circ) \approx 0.17\)
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете стойността на израза \( \sin 78^\circ \cos 18^\circ - \cos 78^\circ \sin 18^\circ \).
Прилагаме формулата за синус от разлика \(\sin(\alpha - \beta)\):
\[ \sin(78^\circ - 18^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Средна: Пресметнете \(\cos(105^\circ)\) като използвате сбор или разлика на познати ъгли.
Представяме \(105^\circ\) като \(60^\circ + 45^\circ\).
Прилагаме формулата за косинус от сбор \(\cos(\alpha + \beta)\): \[ \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ \] \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \]
Прилагаме формулата за косинус от сбор \(\cos(\alpha + \beta)\): \[ \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ \] \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \]
Трудна: Дадено е, че \(\cos\alpha = -\frac{4}{5}\) и ъгъл \(\alpha\) е в трети квадрант (\(180^\circ < \alpha < 270^\circ\)). Намерете стойността на \(\sin(\alpha + 30^\circ)\).
От основното тригонометрично тъждество \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\):
\[ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \]
Тъй като \(\alpha\) е в трети квадрант, \(\sin\alpha\) е отрицателен. Следователно \(\sin\alpha = -\frac{3}{5}\).
Използваме формулата \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\):
\[ \sin(\alpha + 30^\circ) = \sin\alpha\cos30^\circ + \cos\alpha\sin30^\circ \]
\[ = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{1}{2} \]
\[ = -\frac{3\sqrt{3}}{10} - \frac{4}{10} = -\frac{3\sqrt{3} + 4}{10} \]
