Най-важното от урока
Основни изводи:
\( \bullet \) Квадратни корени: При коренуване на израз на втора степен винаги се поставя модул: \( \sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 \).
\( \bullet \) Отрицателни степени: Обръщат дробта или свалят числото в знаменател: \( 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \).
\( \bullet \) Рационализиране: Дроби от вида \( \frac{1}{\sqrt{x} \pm \sqrt{y}} \) се преобразуват чрез умножение със спрегнатия израз \( \sqrt{x} \mp \sqrt{y} \), използвайки формулата \( (A-B)(A+B) = A^2 - B^2 \).
\( \bullet \) Сравняване: За да сравним \( a\sqrt{b} \) и \( c\sqrt{d} \), внасяме множителите под корена: \( \sqrt{a^2b} \) и \( \sqrt{c^2d} \) и сравняваме подкоренните величини.
\( \bullet \) Квадратни корени: При коренуване на израз на втора степен винаги се поставя модул: \( \sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 \).
\( \bullet \) Отрицателни степени: Обръщат дробта или свалят числото в знаменател: \( 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \).
\( \bullet \) Рационализиране: Дроби от вида \( \frac{1}{\sqrt{x} \pm \sqrt{y}} \) се преобразуват чрез умножение със спрегнатия израз \( \sqrt{x} \mp \sqrt{y} \), използвайки формулата \( (A-B)(A+B) = A^2 - B^2 \).
\( \bullet \) Сравняване: За да сравним \( a\sqrt{b} \) и \( c\sqrt{d} \), внасяме множителите под корена: \( \sqrt{a^2b} \) и \( \sqrt{c^2d} \) и сравняваме подкоренните величини.
Ако \( a \ge 0 \) е дадено число, то \( \sqrt{a} \) е такова неотрицателно число \( x \), за което \( x^2 = a \).
\[ x = \sqrt{a} \Leftrightarrow x \ge 0 \text{ и } x^2 = a \]
Уравнението \( x^2 = a \) (за \( a \ge 0 \)) има винаги две решения: \( x = \sqrt{a} \) и \( x = -\sqrt{a} \).
Когато пресмятаме квадратни корени от изрази на втора степен, винаги използваме модул: \( \sqrt{a^2} = |a| \).
Решете уравнението \( x^2 = 36 \).
Според правилото, решенията са две:
\( x = \sqrt{36} = 6 \) и \( x = -\sqrt{36} = -6 \).
\( x = \sqrt{36} = 6 \) и \( x = -\sqrt{36} = -6 \).
За неотрицателни числа (\( a \ge 0 \), \( b \ge 0 \)) са в сила следните свойства:
\( \bullet \) Повдигане на квадрат: \( (\sqrt{a})^2 = a \)
\( \bullet \) Корен от произведение: \( \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} \)
\( \bullet \) Корен от частно: \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \) (при \( b > 0 \))
\( \bullet \) Изнасяне на множител: \( \sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b} \)
\( \bullet \) Повдигане на квадрат: \( (\sqrt{a})^2 = a \)
\( \bullet \) Корен от произведение: \( \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} \)
\( \bullet \) Корен от частно: \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \) (при \( b > 0 \))
\( \bullet \) Изнасяне на множител: \( \sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b} \)
Сравняване на ирационални числа: Ако \( a \) и \( b \) са неотрицателни числа, за които \( a > b \), тогава \( \sqrt{a} > \sqrt{b} \). За да сравним числа с множители пред корена, първо внасяме множителя под корена.
Сравнете по големина числата \( 11\sqrt{2} \) и \( 7\sqrt{5} \).
Внасяме множителите под корена:
\( 11\sqrt{2} = \sqrt{11^2 \cdot 2} = \sqrt{121 \cdot 2} = \sqrt{242} \)
\( 7\sqrt{5} = \sqrt{7^2 \cdot 5} = \sqrt{49 \cdot 5} = \sqrt{245} \)
Тъй като \( 245 > 242 \), следва че \( \sqrt{245} > \sqrt{242} \), следователно \( 7\sqrt{5} > 11\sqrt{2} \).
\( 11\sqrt{2} = \sqrt{11^2 \cdot 2} = \sqrt{121 \cdot 2} = \sqrt{242} \)
\( 7\sqrt{5} = \sqrt{7^2 \cdot 5} = \sqrt{49 \cdot 5} = \sqrt{245} \)
Тъй като \( 245 > 242 \), следва че \( \sqrt{245} > \sqrt{242} \), следователно \( 7\sqrt{5} > 11\sqrt{2} \).
Основни свойства на степените:
\( \bullet \; a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
\( \bullet \; \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) (при \( a \neq 0 \))
\( \bullet \; (ab)^n = a^n \cdot b^n \)
\( \bullet \; \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \) (при \( b \neq 0 \))
\( \bullet \; a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
\( \bullet \; \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) (при \( a \neq 0 \))
\( \bullet \; (ab)^n = a^n \cdot b^n \)
\( \bullet \; \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \) (при \( b \neq 0 \))
Отрицателен степенен показател:
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (\text{за } a \neq 0) \]
Пресметнете \( (\sqrt{11})^{-2} \).
Използваме правилото за отрицателен показател:
\( (\sqrt{11})^{-2} = \frac{1}{(\sqrt{11})^2} = \frac{1}{11} \).
\( (\sqrt{11})^{-2} = \frac{1}{(\sqrt{11})^2} = \frac{1}{11} \).
По подразбиране всички изрази се преобразуват в множеството на допустимите им стойности (например знаменателите да не са нула, изразите под корен да са неотрицателни).
Често използвано свойство при комбиниране на корени и отрицателни степени:
\[ \sqrt{a^{-2}} = \frac{1}{|a|} \]
Рационализиране на знаменател: За да се освободим от ирационалност в знаменателя, умножаваме числителя и знаменателя с подходящ израз (най-често спрегнат).
\( \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} \)
\( \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} \)
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете стойността на израза \( \sqrt{5^{-4}} \cdot \sqrt{(-7)^2} \).
\( \sqrt{5^{-4}} \cdot \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{\frac{1}{5^4}} \cdot |-7| = \frac{1}{5^2} \cdot 7 = \frac{1}{25} \cdot 7 = \frac{7}{25} \).
Средна: Опростете числовия израз \( \sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} + (2-\sqrt{3})^{-1} \).
1. Преобразуваме първата част, като използваме \( \sqrt{a^2} = |a| \):
\( \sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = |\sqrt{3}-2| \). Тъй като \( 2 > \sqrt{3} \) (понеже \( \sqrt{4} > \sqrt{3} \)), изразът в модула е отрицателен, следователно \( |\sqrt{3}-2| = 2-\sqrt{3} \).
2. Преобразуваме втората част:
\( (2-\sqrt{3})^{-1} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \). Рационализираме знаменателя:
\( \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3} \).
3. Събираме двата резултата:
\( (2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 4 \).
\( \sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = |\sqrt{3}-2| \). Тъй като \( 2 > \sqrt{3} \) (понеже \( \sqrt{4} > \sqrt{3} \)), изразът в модула е отрицателен, следователно \( |\sqrt{3}-2| = 2-\sqrt{3} \).
2. Преобразуваме втората част:
\( (2-\sqrt{3})^{-1} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \). Рационализираме знаменателя:
\( \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3} \).
3. Събираме двата резултата:
\( (2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 4 \).
Трудна: Опростете буквения израз \( \frac{(\sqrt{a})^{-1} + (\sqrt{b})^{-1}}{(\sqrt{ab})^{-3}} \).
Използваме правилата за отрицателен степенен показател:
Числител: \( (\sqrt{a})^{-1} + (\sqrt{b})^{-1} = \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} \)
Знаменател: \( (\sqrt{ab})^{-3} = \frac{1}{(\sqrt{ab})^3} \)
Заместваме в началния израз:
\( \left(\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}}\right) : \frac{1}{(\sqrt{ab})^3} = \left(\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}}\right) \cdot (\sqrt{ab})^3 \)
Разкриваме скобите:
\( (\sqrt{ab})^3 \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} + (\sqrt{ab})^3 \cdot \frac{1}{\sqrt{b}} \)
Представяме \( (\sqrt{ab})^3 \) като \( \sqrt{a^3 b^3} = a\sqrt{a} \cdot b\sqrt{b} \):
\( \frac{a\sqrt{a} \cdot b\sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{a\sqrt{a} \cdot b\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = ab\sqrt{b} + ab\sqrt{a} = ab(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \).
Числител: \( (\sqrt{a})^{-1} + (\sqrt{b})^{-1} = \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} \)
Знаменател: \( (\sqrt{ab})^{-3} = \frac{1}{(\sqrt{ab})^3} \)
Заместваме в началния израз:
\( \left(\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}}\right) : \frac{1}{(\sqrt{ab})^3} = \left(\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}}\right) \cdot (\sqrt{ab})^3 \)
Разкриваме скобите:
\( (\sqrt{ab})^3 \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} + (\sqrt{ab})^3 \cdot \frac{1}{\sqrt{b}} \)
Представяме \( (\sqrt{ab})^3 \) като \( \sqrt{a^3 b^3} = a\sqrt{a} \cdot b\sqrt{b} \):
\( \frac{a\sqrt{a} \cdot b\sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{a\sqrt{a} \cdot b\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = ab\sqrt{b} + ab\sqrt{a} = ab(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \).
