Най-важното от урока
- Обобщен ъгъл: Представя се чрез основен ъгъл плюс брой пълни завъртания (\( \alpha + k \cdot 360^\circ \) или \( \alpha + 2k\pi \)).
- Радиан: Мярка за ъгъл, свързана с дължината на дъгата. Преходът е \( \pi \text{ rad} = 180^\circ \).
- Тригонометрични функции: Дефинират се чрез координатите на точка от единичната окръжност: абсцисата \( x \) е косинусът, а ординатата \( y \) е синусът на съответния ъгъл.
Ориентиран (насочен) ъгъл е ъгъл, на който едното рамо е прието за начално, а другото за крайно.
Посоката на въртене от началното към крайното рамо определя знака на ъгъла:
- Положителна посока: обратна на часовниковата стрелка (\(+\alpha\)).
- Отрицателна посока: по часовниковата стрелка (\(-\alpha\)).
Обобщен ъгъл е ъгъл, при който е посочен броят на пълните завъртания (\(360^\circ\)) на първото рамо до съвпадането му с второто.
Мярка на обобщен ъгъл:
\[ \sphericalangle pOq = \alpha + k \cdot 360^\circ, \quad k \in \mathbb{Z} \]
където \( k \) е броят на пълните завъртания (положителни или отрицателни).
Ако \( \alpha = 45^\circ \) и направим едно пълно завъртане в положителна посока (\(k=1\)), получаваме обобщен ъгъл: \( 45^\circ + 1 \cdot 360^\circ = 405^\circ \).
Намерете градусната мярка на обобщения ъгъл \( \alpha = 30^\circ + k \cdot 360^\circ \), ако \( k = -2 \).
Заместваме \( k = -2 \) във формулата:
\[ \alpha = 30^\circ + (-2) \cdot 360^\circ = 30^\circ - 720^\circ = -690^\circ \]
Един радиан (1 rad) е мярката на централен ъгъл, чиято принадлежаща дъга има дължина, равна на дължината на радиуса на окръжността.
Пълната окръжност (\(360^\circ\)) отговаря на \(2\pi\) радиана. Следователно:
\[ 360^\circ = 2\pi \text{ rad} \quad \Rightarrow \quad 180^\circ = \pi \text{ rad} \]
Връзка между градуси и радиани:
\[ 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \quad \text{и} \quad 1 \text{ rad} = \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ \approx 57^\circ 18' \]
Обобщен ъгъл в радиани се записва като: \( x = \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \), където \( \alpha \in [0; 2\pi) \).
Основни ъгли в градуси и радиани:
| \( \alpha^\circ \) | \( 0^\circ \) | \( 30^\circ \) | \( 45^\circ \) | \( 60^\circ \) | \( 90^\circ \) | \( 180^\circ \) | \( 270^\circ \) | \( 360^\circ \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( \alpha \text{ rad} \) | 0 | \( \frac{\pi}{6} \) | \( \frac{\pi}{4} \) | \( \frac{\pi}{3} \) | \( \frac{\pi}{2} \) | \( \pi \) | \( \frac{3\pi}{2} \) | \( 2\pi \) |
Изразете в радиани ъгъл от \( 150^\circ \).
Използваме връзката \( 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \):
\[ 150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ rad} = \frac{150\pi}{180} \text{ rad} = \frac{5\pi}{6} \text{ rad} \]
На всяко реално число \( x = \alpha + 2k\pi \) съответства единствена точка \( M(x_M; y_M) \) от единичната окръжност (окръжност с радиус 1 и център началото на координатната система). Точката се получава при пресичането на второто рамо на ъгъла с окръжността.
Спрямо координатите на точка \( M(x_M; y_M) \) се дефинират:
- Синус: \( \sin x = y_M \) (ординатата)
- Косинус: \( \cos x = x_M \) (абсцисата)
- Тангенс: \( \text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{y_M}{x_M} \) (при \( x \neq (2k + 1)\frac{\pi}{2} \))
- Котангенс: \( \text{cotg } x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{x_M}{y_M} \) (при \( x \neq k\pi \))
Тригонометричните функции вече не се ограничават само до ъгли в правоъгълен триъгълник, а са дефинирани за всяко реално число \(x\), благодарение на единичната окръжност.
Задачи за упражнение
Задача 1 (Лесна): Изразете в радиани ъгъла \( 225^\circ \).
Умножаваме градусите по \( \frac{\pi}{180} \):
\[ 225^\circ = 225 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{225}{180}\pi \]
Съкращаваме на 45:
\[ 225^\circ = \frac{5\pi}{4} \text{ rad} \]
Задача 2 (Средна): Изразете в градуси ъгъла с радианна мярка \( \frac{7\pi}{6} \).
Тъй като \( \pi \text{ rad} = 180^\circ \), заместваме \( \pi \) с \( 180^\circ \):
\[ \frac{7\pi}{6} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{6} = 7 \cdot 30^\circ = 210^\circ \]
Задача 3 (Средна): Намерете градусната мярка на обобщения ъгъл \( \alpha = -45^\circ + k \cdot 360^\circ \), ако \( k = 2 \) и ако \( k = -1 \).
За \( k = 2 \):
\[ \alpha = -45^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -45^\circ + 720^\circ = 675^\circ \]
За \( k = -1 \):
\[ \alpha = -45^\circ + (-1) \cdot 360^\circ = -45^\circ - 360^\circ = -405^\circ \]
Задача 4 (Трудна): Като използвате дефиницията за тригонометрични функции чрез единичната окръжност, намерете \( \sin(90^\circ) \) и \( \cos(90^\circ) \).
Ъгъл от \( 90^\circ \) (или \( \frac{\pi}{2} \text{ rad} \)) съответства на завъртане, при което второто рамо съвпада с положителната част на оста \( Oy \).
Пресечната точка на това рамо с единичната окръжност е точката \( M(0; 1) \).
По дефиниция: \[ \sin(90^\circ) = y_M = 1 \] \[ \cos(90^\circ) = x_M = 0 \]
Пресечната точка на това рамо с единичната окръжност е точката \( M(0; 1) \).
По дефиниция: \[ \sin(90^\circ) = y_M = 1 \] \[ \cos(90^\circ) = x_M = 0 \]
