Най-важното от урока
Основна формула: Вероятността е отношение на лица: \(P = \frac{S(\text{благоприятна})}{S(\text{цяла})}\).
Стъпки за решаване:
1. Определете фигурата, от която се избира точка (цялата област). Намерете лицето ѝ.
2. Определете фигурата, в която трябва да попадне точката (благоприятната област). Намерете лицето ѝ.
3. Разделете двете лица, за да намерите вероятността.
Примери за области:
Благоприятна: кръг; Цяла: квадрат. \( \implies P = \frac{S(\text{кръг})}{S(\text{квадрат})} \)
Благоприятна: рамка; Цяла: квадрат. \( \implies P = \frac{S(\text{голям квадрат}) - S(\text{малък квадрат})}{S(\text{голям квадрат})} \)
Стъпки за решаване:
1. Определете фигурата, от която се избира точка (цялата област). Намерете лицето ѝ.
2. Определете фигурата, в която трябва да попадне точката (благоприятната област). Намерете лицето ѝ.
3. Разделете двете лица, за да намерите вероятността.
Примери за области:
Благоприятна: кръг; Цяла: квадрат. \( \implies P = \frac{S(\text{кръг})}{S(\text{квадрат})} \)
Благоприятна: рамка; Цяла: квадрат. \( \implies P = \frac{S(\text{голям квадрат}) - S(\text{малък квадрат})}{S(\text{голям квадрат})} \)
Геометричната вероятност се използва, когато избираме точка по случаен начин от дадена равнинна фигура. Вероятността избраната точка да попадне в определена част от тази фигура е равна на отношението на лицето на частта към лицето на цялата фигура.
\[ P = \frac{\text{Лице на благоприятната област (B)}}{\text{Лице на цялата област (A)}} = \frac{S(B)}{S(A)} \]
Където \(B\) е част от \(A\).
В квадрат със страна 10 cm е вписан кръг. Вероятността случайно избрана точка от квадрата да е в кръга е:
Област А: Квадратът, \(S(A) = 10^2 = 100 \text{ cm}^2\).
Област B: Кръгът. Радиусът му е \(r = 10/2 = 5 \text{ cm}\). \(S(B) = \pi r^2 = 25\pi \text{ cm}^2\). \[ P = \frac{S(B)}{S(A)} = \frac{25\pi}{100} = \frac{\pi}{4} \]
Област А: Квадратът, \(S(A) = 10^2 = 100 \text{ cm}^2\).
Област B: Кръгът. Радиусът му е \(r = 10/2 = 5 \text{ cm}\). \(S(B) = \pi r^2 = 25\pi \text{ cm}^2\). \[ P = \frac{S(B)}{S(A)} = \frac{25\pi}{100} = \frac{\pi}{4} \]
В правоъгълник със страни 8 cm и 5 cm е начертан кръг с радиус 2 cm. Каква е вероятността случайно избрана точка от правоъгълника да е и от кръга?
\(S(\text{правоъгълник}) = 8 \cdot 5 = 40 \text{ cm}^2\).
\(S(\text{кръг}) = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \text{ cm}^2\).
Вероятността е \(P = \frac{4\pi}{40} = \frac{\pi}{10}\).
\(S(\text{кръг}) = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \text{ cm}^2\).
Вероятността е \(P = \frac{4\pi}{40} = \frac{\pi}{10}\).
Често "благоприятната" област не е проста фигура, а се получава чрез изваждане на лица. Типичен пример е пръстен или рамка.
Кръгла мишена с радиус 20 cm има централен кръг с радиус 10 cm и междинен пръстен, ограден от окръжност с радиус 15 cm. Вероятността да се улучи този междинен пръстен е:
Цялата област: Големият кръг, \(S(A) = \pi \cdot 20^2 = 400\pi \text{ cm}^2\).
Благоприятна област: Пръстенът. Лицето му е разликата между лицето на средния кръг (\(r=15\)) и малкия кръг (\(r=10\)).
\(S(B) = S(\text{среден}) - S(\text{малък}) = \pi \cdot 15^2 - \pi \cdot 10^2 = 225\pi - 100\pi = 125\pi \text{ cm}^2\). \[ P = \frac{125\pi}{400\pi} = \frac{125}{400} = \frac{5}{16} \]
Цялата област: Големият кръг, \(S(A) = \pi \cdot 20^2 = 400\pi \text{ cm}^2\).
Благоприятна област: Пръстенът. Лицето му е разликата между лицето на средния кръг (\(r=15\)) и малкия кръг (\(r=10\)).
\(S(B) = S(\text{среден}) - S(\text{малък}) = \pi \cdot 15^2 - \pi \cdot 10^2 = 225\pi - 100\pi = 125\pi \text{ cm}^2\). \[ P = \frac{125\pi}{400\pi} = \frac{125}{400} = \frac{5}{16} \]
От квадрат със страна 9 cm е изрязан централен квадрат със страна 3 cm. Каква е вероятността случайно избрана точка от големия квадрат да попадне в получената рамка?
\(S(\text{голям квадрат}) = 9^2 = 81 \text{ cm}^2\).
Лицето на рамката е: \(S(\text{рамка}) = S(\text{голям}) - S(\text{малък}) = 81 - 3^2 = 81 - 9 = 72 \text{ cm}^2\).
Вероятността е \(P = \frac{72}{81} = \frac{8}{9}\).
Лицето на рамката е: \(S(\text{рамка}) = S(\text{голям}) - S(\text{малък}) = 81 - 3^2 = 81 - 9 = 72 \text{ cm}^2\).
Вероятността е \(P = \frac{72}{81} = \frac{8}{9}\).
Когато фигурите са триъгълници, които споделят общ ъгъл или обща височина, можем да намерим отношението на лицата им чрез отношението на техните страни.
Ако два триъгълника имат общ ъгъл, отношението на лицата им е равно на отношението на произведенията на страните, които сключват този ъгъл.
В \(\triangle ABC\) точките \(M\) и \(N\) са съответно върху страните \(AC\) и \(BC\), така че \(CM=3, CA=4\) и \(CN=2, CB=6\). Вероятността точка от \(\triangle ABC\) да е в \(\triangle NMC\) е:
Двата триъгълника имат общ ъгъл C. \[ P = \frac{S_{\triangle NMC}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{CM \cdot CN}{CA \cdot CB} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 6} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \]
Двата триъгълника имат общ ъгъл C. \[ P = \frac{S_{\triangle NMC}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{CM \cdot CN}{CA \cdot CB} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 6} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \]
Точка \(K\) е средата на страната \(AB\) на \(\triangle ABC\). Каква е вероятността случайно избрана точка от \(\triangle ABC\) да принадлежи на \(\triangle AKC\)?
\(\triangle AKC\) и \(\triangle KBC\) имат обща височина от върха C. Основите им са \(AK\) и \(KB\). Тъй като \(K\) е среда, \(AK=KB\), следователно лицата им са равни. \(S_{\triangle AKC} = S_{\triangle KBC} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}\).
Вероятността е \(P = \frac{S_{\triangle AKC}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{2}\).
Вероятността е \(P = \frac{S_{\triangle AKC}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{2}\).
Задачи за упражнение
Лесна: В кръг с радиус 4 cm е вписан квадрат. Намерете вероятността случайно избрана точка от кръга да лежи във вътрешността на квадрата.
Лицето на кръга е \(S(\text{кръг}) = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \text{ cm}^2\).
Диагоналът на квадрата е равен на диаметъра на кръга: \(d = 2r = 8 \text{ cm}\).
Лицето на квадрата е \(S(\text{квадрат}) = \frac{d^2}{2} = \frac{8^2}{2} = \frac{64}{2} = 32 \text{ cm}^2\).
Вероятността е \(P = \frac{S(\text{квадрат})}{S(\text{кръг})} = \frac{32}{16\pi} = \frac{2}{\pi}\).
Диагоналът на квадрата е равен на диаметъра на кръга: \(d = 2r = 8 \text{ cm}\).
Лицето на квадрата е \(S(\text{квадрат}) = \frac{d^2}{2} = \frac{8^2}{2} = \frac{64}{2} = 32 \text{ cm}^2\).
Вероятността е \(P = \frac{S(\text{квадрат})}{S(\text{кръг})} = \frac{32}{16\pi} = \frac{2}{\pi}\).
Средна: Във вътрешността на квадрат със страна \(a=8 \text{ cm}\) се избира по случаен начин точка \(M\). Намерете вероятността разстоянието от \(M\) до центъра на квадрата да е по-голямо от 3 cm.
Цялата област е квадратът: \(S(A) = 8^2 = 64 \text{ cm}^2\).
Събитието "разстоянието до центъра е по-голямо от 3 cm" означава, че точката е извън кръг с център центъра на квадрата и радиус \(r=3 \text{ cm}\).
Лицето на този "забранен" кръг е \(S(\text{кръг}) = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \text{ cm}^2\).
Лицето на благоприятната област е \(S(B) = S(A) - S(\text{кръг}) = 64 - 9\pi \text{ cm}^2\).
Вероятността е \(P = \frac{64 - 9\pi}{64} = 1 - \frac{9\pi}{64}\).
Събитието "разстоянието до центъра е по-голямо от 3 cm" означава, че точката е извън кръг с център центъра на квадрата и радиус \(r=3 \text{ cm}\).
Лицето на този "забранен" кръг е \(S(\text{кръг}) = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \text{ cm}^2\).
Лицето на благоприятната област е \(S(B) = S(A) - S(\text{кръг}) = 64 - 9\pi \text{ cm}^2\).
Вероятността е \(P = \frac{64 - 9\pi}{64} = 1 - \frac{9\pi}{64}\).
Трудна: В равностранен триъгълник със страна 12 cm е вписан кръг. Намерете вероятността случайно избрана точка от триъгълника да е извън кръга.
1. Лице на триъгълника (цялата област): \(S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3} \text{ cm}^2\).
2. Радиус на вписания кръг: \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3} \text{ cm}\).
3. Лице на вписания кръг ("неблагоприятна" област): \(S_{\text{кръг}} = \pi r^2 = \pi (2\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 12 = 12\pi \text{ cm}^2\).
4. Лице на благоприятната област (извън кръга): \(S(B) = S_{\triangle} - S_{\text{кръг}} = 36\sqrt{3} - 12\pi \text{ cm}^2\).
5. Вероятност: \(P = \frac{36\sqrt{3} - 12\pi}{36\sqrt{3}} = 1 - \frac{12\pi}{36\sqrt{3}} = 1 - \frac{\pi}{3\sqrt{3}}\).
2. Радиус на вписания кръг: \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3} \text{ cm}\).
3. Лице на вписания кръг ("неблагоприятна" област): \(S_{\text{кръг}} = \pi r^2 = \pi (2\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 12 = 12\pi \text{ cm}^2\).
4. Лице на благоприятната област (извън кръга): \(S(B) = S_{\triangle} - S_{\text{кръг}} = 36\sqrt{3} - 12\pi \text{ cm}^2\).
5. Вероятност: \(P = \frac{36\sqrt{3} - 12\pi}{36\sqrt{3}} = 1 - \frac{12\pi}{36\sqrt{3}} = 1 - \frac{\pi}{3\sqrt{3}}\).
