Най-важното от урока
Основни тъждества:
Пример: Ако \(\sin x = \frac{1}{2}\) и \(x\) е в II квадрант \(\implies \cos x\) е отрицателен. \(\cos x = -\sqrt{1 - \sin^2 x} = -\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
- \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) (винаги валидно)
- \(\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{cotg} x = 1\) (когато са дефинирани)
Пример: Ако \(\sin x = \frac{1}{2}\) и \(x\) е в II квадрант \(\implies \cos x\) е отрицателен. \(\cos x = -\sqrt{1 - \sin^2 x} = -\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Основното тригонометрично тъждество свързва функциите синус и косинус на един и същ ъгъл.
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]
Тъждеството е в сила за всяко реално число \(x\).
Дадено е, че \(\sin x = \frac{3}{5}\) и ъгълът \(x\) е във II квадрант. Трябва да намерим \(\cos x\).
От тъждеството имаме: \( (\frac{3}{5})^2 + \cos^2 x = 1 \)
\( \frac{9}{25} + \cos^2 x = 1 \)
\( \cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \implies \cos x = \pm \frac{4}{5} \)
Тъй като \(x\) е във II квадрант, \(\cos x\) е отрицателен, следователно \(\cos x = -\frac{4}{5}\).
От тъждеството имаме: \( (\frac{3}{5})^2 + \cos^2 x = 1 \)
\( \frac{9}{25} + \cos^2 x = 1 \)
\( \cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \implies \cos x = \pm \frac{4}{5} \)
Тъй като \(x\) е във II квадрант, \(\cos x\) е отрицателен, следователно \(\cos x = -\frac{4}{5}\).
Ако \(\cos x = \frac{12}{13}\), на колко е равно \(\sin^2 x\)?
От \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) следва, че \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\).
\(\sin^2 x = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}\).
\(\sin^2 x = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}\).
Функциите тангенс и котангенс на един и същ ъгъл са реципрочни една на друга.
\[ \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{cotg} x = 1 \]
Тъждеството е в сила за \(x \neq k \cdot \frac{\pi}{2}\), където \(k\) е цяло число.
От това тъждество следват зависимостите:
\[ \operatorname{tg} x = \frac{1}{\operatorname{cotg} x} \quad \text{и} \quad \operatorname{cotg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} \]
Ако \(\operatorname{tg} x = 5\), то \(\operatorname{cotg} x = \frac{1}{5}\).
Ако \(\operatorname{cotg} x = -\frac{2}{7}\), на колко е равно \(\operatorname{tg} x\)?
\(\operatorname{tg} x = \frac{1}{\operatorname{cotg} x} = \frac{1}{-2/7} = -\frac{7}{2}\).
Знакът (+ или –) на тригонометричните функции зависи от квадранта, в който се намира второто рамо на ъгъла.
Ъгъл \(x = \frac{5\pi}{6}\) се намира във II квадрант (тъй като \(\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi\)). В този квадрант:
- \(\sin x > 0\) (положителен)
- \(\cos x < 0\) (отрицателен)
- \(\operatorname{tg} x < 0\) (отрицателен)
- \(\operatorname{cotg} x < 0\) (отрицателен)
Определете знака на \(\operatorname{tg} x\) за ъгъл \(x \in (\pi; \frac{3\pi}{2})\).
Ъгълът \(x\) е в III квадрант. В III квадрант \(\sin x < 0\) и \(\cos x < 0\). Тъй като \(\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}\), то \(\operatorname{tg} x > 0\) (положителен).
Тези формули показват връзката между стойностите на тригонометричните функции за ъгли, различаващи се с \(\pi\) радиана (180°).
- \(\sin (\pi + x) = -\sin x\)
- \(\cos (\pi + x) = -\cos x\)
- \(\operatorname{tg} (\pi + x) = \operatorname{tg} x\)
- \(\operatorname{cotg} (\pi + x) = \operatorname{cotg} x\)
Да се пресметне \(\cos(\frac{4\pi}{3})\).
Можем да представим \(\frac{4\pi}{3}\) като \(\pi + \frac{\pi}{3}\).
Тогава \(\cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\).
Можем да представим \(\frac{4\pi}{3}\) като \(\pi + \frac{\pi}{3}\).
Тогава \(\cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\).
Опростете израза \(\operatorname{tg}(\pi + 30^\circ)\).
\(\operatorname{tg}(\pi + 30^\circ) = \operatorname{tg}(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Задачи за упражнение
Лесна: Дадено е, че \(\cos x = \frac{5}{13}\) и \(x \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)\). Намерете \(\sin x\).
От \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) получаваме \(\sin^2 x = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}\).
Следователно \(\sin x = \pm \frac{12}{13}\).
Тъй като ъгълът \(x\) е в IV квадрант, \(\sin x\) е отрицателен.
Отговор: \(\sin x = -\frac{12}{13}\).
Следователно \(\sin x = \pm \frac{12}{13}\).
Тъй като ъгълът \(x\) е в IV квадрант, \(\sin x\) е отрицателен.
Отговор: \(\sin x = -\frac{12}{13}\).
Средна: Дадено е, че \(\operatorname{tg} x = -3\) и \(x \in (\frac{\pi}{2}; \pi)\). Намерете стойностите на \(\sin x\) и \(\cos x\).
1. От \(\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = -3\), изразяваме \(\sin x = -3\cos x\).
2. Заместваме в \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):
\((-3\cos x)^2 + \cos^2 x = 1\)
\(9\cos^2 x + \cos^2 x = 1\)
\(10\cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = \frac{1}{10} \implies \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}\).
3. Тъй като \(x\) е във II квадрант, \(\cos x < 0\), следователно \(\cos x = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}\).
4. Намираме \(\sin x = -3 \cos x = -3(-\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{3\sqrt{10}}{10}\).
Отговор: \(\sin x = \frac{3\sqrt{10}}{10}\), \(\cos x = -\frac{\sqrt{10}}{10}\).
2. Заместваме в \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):
\((-3\cos x)^2 + \cos^2 x = 1\)
\(9\cos^2 x + \cos^2 x = 1\)
\(10\cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = \frac{1}{10} \implies \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}\).
3. Тъй като \(x\) е във II квадрант, \(\cos x < 0\), следователно \(\cos x = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}\).
4. Намираме \(\sin x = -3 \cos x = -3(-\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{3\sqrt{10}}{10}\).
Отговор: \(\sin x = \frac{3\sqrt{10}}{10}\), \(\cos x = -\frac{\sqrt{10}}{10}\).
Трудна: Докажете тъждеството \( (1 - \sin x)(1 + \sin x) = \cos^2 x \).
Разкриваме скобите в лявата страна на равенството, като използваме формулата за съкратено умножение \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\):
\( (1 - \sin x)(1 + \sin x) = 1^2 - \sin^2 x = 1 - \sin^2 x \).
От основното тригонометрично тъждество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) знаем, че \(1 - \sin^2 x = \cos^2 x\).
Следователно, лявата страна е равна на дясната. Тъждеството е доказано.
\( (1 - \sin x)(1 + \sin x) = 1^2 - \sin^2 x = 1 - \sin^2 x \).
От основното тригонометрично тъждество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) знаем, че \(1 - \sin^2 x = \cos^2 x\).
Следователно, лявата страна е равна на дясната. Тъждеството е доказано.
