Най-важното от урока
Степен с дробен (рационален) показател се дефинира чрез корен.
\[ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \]
където \(a > 0\), \(m\) е цяло число, а \(n\) е естествено число.
Пресмятане на \(8^{\frac{2}{3}}\):
\[ 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4 \]
Или по-лесно:
\[ 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \]
Пресметнете стойността на \(27^{\frac{2}{3}}\).
\(27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\).
Корен n-ти от числото \(a\) е число \(x\), за което \(x^n=a\).
- При четно n (квадратен корен, \(\sqrt[4]{..}\) и т.н.): подкоренната величина трябва да е неотрицателна (\(a \ge 0\)) и резултатът също е неотрицателен (\(\sqrt[n]{a} \ge 0\)).
- При нечетно n (кубичен корен, \(\sqrt[5]{..}\) и т.н.): подкоренната величина може да е всякакво реално число.
- \(\sqrt[4]{81} = 3\), защото \(3^4=81\) и \(3 \ge 0\).
- \(\sqrt[3]{-8} = -2\), защото \((-2)^3 = -8\).
Опростете израза \(\sqrt[4]{a^8 b^4}\), ако \(b \ge 0\).
\(\sqrt[4]{a^8 b^4} = \sqrt[4]{(a^2)^4 b^4} = |a^2| \cdot |b|\). Тъй като \(a^2 \ge 0\) и по условие \(b \ge 0\), изразът е равен на \(a^2 b\).
Логаритъм на числото \(b\) при основа \(a\) се нарича степенният показател \(x\), на който трябва да повдигнем основата \(a\), за да получим числото \(b\).
\[ \log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b \]
Условия за съществуване (допустими стойности):
- Аргумент: \(b > 0\)
- Основа: \(a > 0\) и \(a \ne 1\)
\(\log_2 8 = 3\), защото \(2^3 = 8\).
\(\log_5 25 = 2\), защото \(5^2 = 25\).
\(\log_5 25 = 2\), защото \(5^2 = 25\).
Намерете \(\log_3 81\).
Търсим число \(x\), за което \(3^x = 81\). Тъй като \(81 = 3^4\), то \(x = 4\). Следователно \(\log_3 81 = 4\).
- Логаритъм от произведение: \(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\)
- Логаритъм от частно: \(\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y\)
- Логаритъм от степен: \(\log_a(x^p) = p \cdot \log_a x\)
- Смяна на основата: \(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}\)
Пресмятане на \(\log_6 2 + \log_6 18\) чрез свойствата:
\[ \log_6 2 + \log_6 18 = \log_6 (2 \cdot 18) = \log_6 36 = 2 \]
Опростете израза \(2\log_5 10 - \log_5 4\).
\(2\log_5 10 - \log_5 4 = \log_5(10^2) - \log_5 4 = \log_5 100 - \log_5 4 = \log_5(\frac{100}{4}) = \log_5 25 = 2\).
Намирането на допустими стойности означава да се определят всички стойности на променливата, за които даден израз има смисъл.
Ключови правила:
- Подкоренна величина на четен корен (\(\sqrt[2k]{...}\)) трябва да бъде \(\ge 0\).
- Знаменателят на дроб трябва да бъде \(\ne 0\).
- Аргументът на логаритъм (\(\log_a b\)) трябва да бъде \(> 0\).
- Основата на логаритъм (\(\log_a b\)) трябва да бъде \(> 0\) и \(\ne 1\).
За израза \(\log_{x-1}(5-x)\) допустимите стойности се намират от системата:
\[ \begin{cases} 5-x > 0 \implies x < 5 \\ x-1 > 0 \implies x > 1 \\ x-1 \ne 1 \implies x \ne 2 \end{cases} \]
Решението е \(x \in (1, 2) \cup (2, 5)\).
Намерете допустимите стойности за израза \(\frac{1}{\sqrt{x-3}}\).
Трябва да са изпълнени две условия:
1. Изразът под корена да е неотрицателен: \(x-3 \ge 0 \implies x \ge 3\).
2. Знаменателят да е различен от нула: \(\sqrt{x-3} \ne 0 \implies x-3 \ne 0 \implies x \ne 3\).
Като обединим двете условия, получаваме \(x > 3\), т.е. \(x \in (3, \infty)\).
1. Изразът под корена да е неотрицателен: \(x-3 \ge 0 \implies x \ge 3\).
2. Знаменателят да е различен от нула: \(\sqrt{x-3} \ne 0 \implies x-3 \ne 0 \implies x \ne 3\).
Като обединим двете условия, получаваме \(x > 3\), т.е. \(x \in (3, \infty)\).
Четириъгълник с две двойки успоредни страни.
Периметър: \( P = 2a + 2b = 2(a+b) \)
Лице (чрез страна и височина): \( S = a \cdot h_a = b \cdot h_b \)
Лице (чрез страни и ъгъл): \( S = ab \sin \alpha \)
където \( \alpha \) е ъгълът между страните \( a \) и \( b \).
Успоредник има страни \( a = 10 \) cm, \( b = 8 \) cm и ъгъл между тях \( \alpha = 30^\circ \).
Лицето му е \( S = 10 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40 \) cm2.
Намерете лицето на успоредник със страна \( a=12 \) cm и височина към нея \( h_a=5 \) cm.
\( S = a \cdot h_a = 12 \cdot 5 = 60 \) cm2.
Четириъгълник с една двойка успоредни страни, наречени основи.
Периметър: \( P = a + b + c + d \)
където \(a\) и \(b\) са основите, а \(c\) и \(d\) са бедрата.
Лице: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \)
където \(a\) и \(b\) са основите, а \(h\) е височината.
Трапец има основи \( a=7 \) cm, \( b=13 \) cm и височина \( h=6 \) cm.
Лицето му е \( S = \frac{7+13}{2} \cdot 6 = \frac{20}{2} \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60 \) cm2.
Основите на трапец са 5 cm и 9 cm, а лицето му е 42 cm2. Намерете височината.
\( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \Rightarrow 42 = \frac{5+9}{2} \cdot h \Rightarrow 42 = 7h \Rightarrow h = 6 \) cm.
Формула за лице на всеки изпъкнал четириъгълник чрез диагоналите му.
Лице: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi \)
където \( d_1, d_2 \) са диагоналите, а \( \varphi \) е ъгълът между тях.
Четириъгълник има диагонали \( d_1 = 10 \) cm, \( d_2 = 12 \) cm, които са перпендикулярни (\( \varphi = 90^\circ \)).
Лицето е \( S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin 90^\circ = \frac{1}{2} \cdot 120 \cdot 1 = 60 \) cm2.
Диагоналите на четириъгълник са 16 cm и 10 cm, а ъгълът между тях е 30°. Намерете лицето му.
\( S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40 \) cm2.
Описан четириъгълник: В него може да се впише окръжност. Условие: \(a+c = b+d\).
Лице на описан четириъгълник: \( S = p \cdot r \)
където \( p = \frac{a+b+c+d}{2} \) е полупериметърът, а \( r \) е радиусът на вписаната окръжност.
Вписан четириъгълник: Около него може да се опише окръжност. Условие: \(\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ\).
Лице на вписан четириъгълник (Формула на Брахмагупта):
\[ S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} \]
където \(p\) е полупериметърът.
Описан и вписан четириъгълник:
Лице: \( S = \sqrt{abcd} \)
Четириъгълник има страни 2, 3, 6, 5 и е вписан в окръжност. Намерете лицето му.
Полупериметър: \( p = \frac{2+3+6+5}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).
Лице: \( S = \sqrt{(8-2)(8-3)(8-6)(8-5)} = \sqrt{6 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} \).
Лице: \( S = \sqrt{(8-2)(8-3)(8-6)(8-5)} = \sqrt{6 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} \).
Изпъкнал многоъгълник с \(n\) равни страни и \(n\) равни ъгъла.
Периметър: \( P = n \cdot a \)
Лице: \( S = \frac{P \cdot r}{2} = \frac{n \cdot a \cdot r}{2} \)
където \(r\) е апотемата (радиус на вписаната окръжност).
Връзки с радиусите \(R\) и \(r\):
\[ a = 2R \sin \frac{180^\circ}{n} \quad | \quad r = R \cos \frac{180^\circ}{n} \]
Правилен шестоъгълник има страна \(a=10\) cm. За него е известно, че \(R=a=10\) cm.
Апотемата е \( r = R \cos \frac{180^\circ}{6} = 10 \cos 30^\circ = 10 \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) cm.
Лицето е \( S = \frac{6 \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3} \) cm2.
Апотемата е \( r = R \cos \frac{180^\circ}{6} = 10 \cos 30^\circ = 10 \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) cm.
Лицето е \( S = \frac{6 \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3} \) cm2.
Намерете периметъра на правилен петоъгълник със страна 8 cm.
\( P = n \cdot a = 5 \cdot 8 = 40 \) cm.
Това са равенства, които са верни за всяка допустима стойност на ъгъла \( \alpha \). Те позволяват да се изрази една тригонометрична функция чрез друга.
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \alpha \neq 90^\circ + k \cdot 180^\circ \]
\[ \operatorname{cotg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \quad \alpha \neq k \cdot 180^\circ \]
\[ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{cotg} \alpha = 1, \quad \alpha \neq k \cdot 90^\circ \]
Ако \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) и \( \alpha \) е ъгъл във II квадрант (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)), тогава \( \cos \alpha \) може да се намери така:
\( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \).
Тъй като във II квадрант косинусът е отрицателен, избираме \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \).
\( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \).
Тъй като във II квадрант косинусът е отрицателен, избираме \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \).
Ако \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \) и \( \alpha \) е в IV квадрант, намерете \( \operatorname{tg} \alpha \).
1. Намираме \( \sin \alpha \): \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = \frac{25}{169} \). В IV квадрант синусът е отрицателен, следователно \( \sin \alpha = -\frac{5}{13} \).
2. Намираме \( \operatorname{tg} \alpha \): \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-5/13}{12/13} = -\frac{5}{12} \).
2. Намираме \( \operatorname{tg} \alpha \): \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-5/13}{12/13} = -\frac{5}{12} \).
Тези формули служат за преобразуване на тригонометрични функции на произволен ъгъл към функция на остър ъгъл.
Стъпка 1: Ако ъгълът е от вида \(180^\circ \pm \alpha\) или \(360^\circ \pm \alpha\), функцията се запазва. Ако е \(90^\circ \pm \alpha\) или \(270^\circ \pm \alpha\), функцията се сменя с ко-функцията си (\( \sin \leftrightarrow \cos \), \( \operatorname{tg} \leftrightarrow \operatorname{cotg} \)).
Стъпка 2: Знакът пред новата функция се определя от знака на старата функция в квадранта, в който се намира първоначалният ъгъл (приемайки, че \( \alpha \) е остър).
Стъпка 2: Знакът пред новата функция се определя от знака на старата функция в квадранта, в който се намира първоначалният ъгъл (приемайки, че \( \alpha \) е остър).
Да пресметнем \( \cos(120^\circ) \).
Представяме \( 120^\circ = 180^\circ - 60^\circ \).
1. Ъгълът е \(180^\circ - \alpha\), значи функцията остава \( \cos \).
2. \( 120^\circ \) е във II квадрант, където косинусът е отрицателен.
Следователно \( \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} \).
Представяме \( 120^\circ = 180^\circ - 60^\circ \).
1. Ъгълът е \(180^\circ - \alpha\), значи функцията остава \( \cos \).
2. \( 120^\circ \) е във II квадрант, където косинусът е отрицателен.
Следователно \( \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} \).
Опростете израза \( \sin(270^\circ - \alpha) \).
1. Ъгълът е \(270^\circ - \alpha\), значи функцията \( \sin \) се сменя с \( \cos \).
2. Ъгълът \(270^\circ - \alpha\) е в III квадрант, където синусът е отрицателен.
Отговор: \( \sin(270^\circ - \alpha) = -\cos \alpha \).
2. Ъгълът \(270^\circ - \alpha\) е в III квадрант, където синусът е отрицателен.
Отговор: \( \sin(270^\circ - \alpha) = -\cos \alpha \).
Тези формули изразяват тригонометричните функции на сбор или разлика на два ъгъла чрез функциите на самите ъгли.
\[ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]
\[ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \]
\[ \operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} \]
Пресмятане на \( \sin(75^\circ) \):
\( \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \)
\( = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).
\( \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \)
\( = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).
Пресметнете \( \cos(105^\circ) \) като използвате събирателна формула.
\( \cos(105^\circ) = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ \)
\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \).
\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \).
Тези формули се получават от събирателните при \( \beta = \alpha \) и свързват функциите на ъгъл \( 2\alpha \) с тези на ъгъл \( \alpha \).
\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]
\[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \]
\[ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 \]
\[ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \]
\[ \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} \]
Ако \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) и \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \), да се намери \( \sin 2\alpha \) и \( \cos 2\alpha \).
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25} \).
\( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} \).
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25} \).
\( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} \).
Ако \( \cos \alpha = \frac{1}{4} \), намерете \( \cos 2\alpha \).
Използваме формулата \( \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 \):
\( \cos 2\alpha = 2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{16} - 1 = \frac{1}{8} - 1 = -\frac{7}{8} \).
\( \cos 2\alpha = 2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{16} - 1 = \frac{1}{8} - 1 = -\frac{7}{8} \).
Тези формули позволяват сбор или разлика от тригонометрични функции да се представи като произведение. Често се използват при опростяване на изрази и решаване на уравнения.
\[ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \]
\[ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \]
\[ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \]
\[ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \]
Опростете израза \( \sin 7x + \sin 3x \).
\( \sin 7x + \sin 3x = 2 \sin \frac{7x + 3x}{2} \cos \frac{7x - 3x}{2} = 2 \sin(5x) \cos(2x) \).
\( \sin 7x + \sin 3x = 2 \sin \frac{7x + 3x}{2} \cos \frac{7x - 3x}{2} = 2 \sin(5x) \cos(2x) \).
Представете като произведение \( \cos 5x - \cos x \).
\( \cos 5x - \cos x = -2 \sin \frac{5x + x}{2} \sin \frac{5x - x}{2} = -2 \sin(3x) \sin(2x) \).
Условна вероятност \(P(A|B)\) е вероятността да се случи събитие A, при условие че събитие B вече се е случило.
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \text{ където } P(B) > 0 \]
\(P(A \cap B)\) е вероятността да се случат и A, и B.
Теорема за умножение: Вероятността за едновременно настъпване на две събития A и B е:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) \]
От тесте с 52 карти се теглят последователно 2 карти без връщане. Каква е вероятността и двете да са купи?
Нека A = "първата е купа", B = "втората е купа".
Вероятността първата да е купа е \(P(A) = \frac{13}{52}\).
Ако първата е купа, в тестето остават 51 карти, от които 12 са купи. Вероятността втората да е купа, при условие че първата е била купа, е \(P(B|A) = \frac{12}{51}\).
Общата вероятност е \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{13}{52} \cdot \frac{12}{51} = \frac{1}{17}\).
Нека A = "първата е купа", B = "втората е купа".
Вероятността първата да е купа е \(P(A) = \frac{13}{52}\).
Ако първата е купа, в тестето остават 51 карти, от които 12 са купи. Вероятността втората да е купа, при условие че първата е била купа, е \(P(B|A) = \frac{12}{51}\).
Общата вероятност е \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{13}{52} \cdot \frac{12}{51} = \frac{1}{17}\).
В кутия има 5 червени и 4 сини топки. Каква е вероятността при последователно теглене на две топки (без връщане) и двете да са червени?
\(P(\text{Ч1} \cap \text{Ч2}) = P(\text{Ч1}) \cdot P(\text{Ч2}|\text{Ч1}) = \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{20}{72} = \frac{5}{18}\)
Две събития A и B са независими, ако случването на едното не влияе на вероятността за случване на другото. При тях \(P(A|B) = P(A)\).
За независими събития теоремата за умножение е:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
От тесте с 52 карти се тегли карта, която се връща обратно, и се тегли втора. Каква е вероятността и двете да са купи?
Събитията са независими, защото първата карта се връща.
\(P(\text{купа}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
\(P(\text{две купи}) = P(\text{купа}) \cdot P(\text{купа}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}\)
Събитията са независими, защото първата карта се връща.
\(P(\text{купа}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
\(P(\text{две купи}) = P(\text{купа}) \cdot P(\text{купа}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}\)
Хвърляме зарче два пъти. Каква е вероятността и двата пъти да се падне 6?
Хвърлянията са независими. Вероятността да се падне 6 е \(\frac{1}{6}\).
\(P(\text{6 и 6}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\)
\(P(\text{6 и 6}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\)
Използва се при \(n\) независими опита, всеки от които има два изхода - "успех" (с вероятност \(p\)) и "неуспех" (с вероятност \(q=1-p\)).
Вероятността да имаме точно \(k\) успеха в \(n\) опита е:
\[ P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k} \]
\(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) е броят на комбинациите.
Правилна монета се хвърля 5 пъти. Каква е вероятността да се паднат точно 2 "ези"?
Тук \(n=5\), \(k=2\). "Успех" е да се падне "ези", \(p=0.5\), \(q=0.5\).
\(P_5(2) = C_5^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{5-2} = 10 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^3 = 10 \cdot (0.5)^5 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}\).
Тук \(n=5\), \(k=2\). "Успех" е да се падне "ези", \(p=0.5\), \(q=0.5\).
\(P_5(2) = C_5^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{5-2} = 10 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^3 = 10 \cdot (0.5)^5 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}\).
Стрелец уцелва мишена с вероятност \(p=0.8\). Каква е вероятността при 3 изстрела да уцели точно 3 пъти?
\(n=3\), \(k=3\), \(p=0.8\), \(q=0.2\).
\(P_3(3) = C_3^3 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^0 = 1 \cdot 0.512 \cdot 1 = 0.512\)
\(P_3(3) = C_3^3 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^0 = 1 \cdot 0.512 \cdot 1 = 0.512\)
Използва се, когато от съвкупност \(N\) обекта, от които \(M\) са от даден вид, се изваждат \(n\) обекта без връщане.
Вероятността сред извадените \(n\) обекта да има точно \(k\) от дадения вид е:
\[ P = \frac{C_M^k \cdot C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} \]
В кутия има 9 топки (5 бели и 4 черни). Теглят се 3 топки без връщане. Каква е вероятността точно 2 от тях да са бели?
Тук \(N=9\), \(M=5\) (бели), \(n=3\) (теглим), \(k=2\) (искаме да са бели).
\(P = \frac{C_5^2 \cdot C_{9-5}^{3-2}}{C_9^3} = \frac{C_5^2 \cdot C_4^1}{C_9^3} = \frac{10 \cdot 4}{84} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21}\)
Тук \(N=9\), \(M=5\) (бели), \(n=3\) (теглим), \(k=2\) (искаме да са бели).
\(P = \frac{C_5^2 \cdot C_{9-5}^{3-2}}{C_9^3} = \frac{C_5^2 \cdot C_4^1}{C_9^3} = \frac{10 \cdot 4}{84} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21}\)
От клас с 10 момчета и 15 момичета се избира отбор от 4 ученици. Каква е вероятността в отбора да има точно 1 момче?
\(N=25\), \(M=10\) (момчета), \(n=4\), \(k=1\).
\(P = \frac{C_{10}^1 \cdot C_{15}^3}{C_{25}^4} = \frac{10 \cdot 455}{12650} = \frac{4550}{12650} \approx 0.36\)
\(P = \frac{C_{10}^1 \cdot C_{15}^3}{C_{25}^4} = \frac{10 \cdot 455}{12650} = \frac{4550}{12650} \approx 0.36\)
Използва се, когато пространството от всички възможни изходи е безкрайно (например точки в интервал или фигура) и всички точки са равновероятни.
Вероятността е отношението на "благоприятната" мярка (дължина, лице) към пълната мярка.
За отсечки: \( P = \frac{\text{дължина на благоприятна част}}{\text{дължина на цялата отсечка}} \)
За фигури: \( P = \frac{\text{лице на благоприятна част}}{\text{лице на цялата фигура}} \)
За отсечки: \( P = \frac{\text{дължина на благоприятна част}}{\text{дължина на цялата отсечка}} \)
За фигури: \( P = \frac{\text{лице на благоприятна част}}{\text{лице на цялата фигура}} \)
Лице на големия кръг: \(S_R = \pi R^2 = 144\pi\).
Лице на малкия кръг: \(S_r = \pi r^2 = 36\pi\).
\(P = \frac{S_r}{S_R} = \frac{36\pi}{144\pi} = \frac{1}{4}\)
По случаен начин се избира точка от отсечка с дължина 20 cm. Каква е вероятността точката да е в първите 5 cm от отсечката?
\(P = \frac{\text{благоприятна дължина}}{\text{обща дължина}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}\)
