Най-важното от урока
Дефиниция: Степен с дробен показател е корен. \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). Пример: \(27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3\).
Отрицателен показател: Обръща основата. \(a^{-r} = \frac{1}{a^r}\). Пример: \(16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}\).
Свойства: Правилата за умножение, деление и степенуване на степени остават същите. Пример: \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{6}}\).
Сравняване: Ако основата \(a > 1\), по-голям показател дава по-голяма стойност. Ако \(0 < a < 1\), по-голям показател дава по-малка стойност.
Отрицателен показател: Обръща основата. \(a^{-r} = \frac{1}{a^r}\). Пример: \(16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}\).
Свойства: Правилата за умножение, деление и степенуване на степени остават същите. Пример: \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{6}}\).
Сравняване: Ако основата \(a > 1\), по-голям показател дава по-голяма стойност. Ако \(0 < a < 1\), по-голям показател дава по-малка стойност.
Степен с рационален показател \( \frac{m}{n} \) се дефинира чрез корен, като знаменателят на дробта става коренен показател, а числителят - степен на подкоренната величина.
\[ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \]
където \( a \ge 0 \), \( m \) е цяло число, а \( n \) е естествено число.
Пресмятане на \( 8^{\frac{2}{3}} \):
\[ 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4 \]
По-лесно е първо да се коренува: \( 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \).
Представете като корен израза \( 7^{\frac{3}{5}} \).
Отговор: \( 7^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{7^3} = \sqrt[5]{343} \).
Степен с отрицателен рационален показател е равна на реципрочната стойност на същата степен, но с положителен показател.
\[ a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} \]
където \( a > 0 \).
Пресмятане на \( 27^{-\frac{1}{3}} \):
\[ 27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3} \]
Пресметнете \( \left(\frac{9}{16}\right)^{-\frac{1}{2}} \).
Отговор: \( \left(\frac{9}{16}\right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{(\frac{9}{16})^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{16}}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \).
Правилата за действия със степени с цели показатели важат и за степени с рационални показатели при \(a > 0, b > 0\).
- \( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \)
- \( a^x : a^y = a^{x-y} \)
- \( (a^x)^y = a^{xy} \)
- \( (ab)^x = a^x b^x \)
- \( \left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x} \)
Опростяване на израза \( b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}} \):
\[ b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} = b^{\frac{4}{6} + \frac{3}{6}} = b^{\frac{7}{6}} \]
Опростете \( (x^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}} \).
Отговор: \( (x^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{6}} = x^{\frac{1}{3}} \).
Резултатът от сравняването на две степени с равни основи зависи от това дали основата е по-голяма или по-малка от 1.
При основа \( a > 1 \): от \( x < y \) следва \( a^x < a^y \).
По-големият степенен показател отговаря на по-голяма стойност.
По-големият степенен показател отговаря на по-голяма стойност.
При основа \( 0 < a < 1 \): от \( x < y \) следва \( a^x > a^y \).
По-големият степенен показател отговаря на по-малка стойност.
По-големият степенен показател отговаря на по-малка стойност.
- Тъй като \( 5 > 1 \) и \( 2 < 3 \), то \( 5^2 < 5^3 \) (т.е. \( 25 < 125 \)).
- Тъй като \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \) и \( 2 < 3 \), то \( (\frac{1}{3})^2 > (\frac{1}{3})^3 \) (т.е. \( \frac{1}{9} > \frac{1}{27} \)).
Сравнете числата \( (0.5)^{\frac{1}{2}} \) и \( (0.5)^{\frac{1}{3}} \).
Основата е \( a = 0.5 \), което е между 0 и 1. Сравняваме степенните показатели: \( \frac{1}{2} > \frac{1}{3} \). Тъй като основата е по-малка от 1, по-големият показател дава по-малка стойност.
Отговор: \( (0.5)^{\frac{1}{2}} < (0.5)^{\frac{1}{3}} \).
Отговор: \( (0.5)^{\frac{1}{2}} < (0.5)^{\frac{1}{3}} \).
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \( 81^{\frac{1}{4}} \).
\( 81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3 \).
Отговор: 3.
Отговор: 3.
Средна: Опростете израза \( \frac{a^{\frac{3}{4}} \cdot a}{a^{\frac{1}{2}}} \) при \(a > 0\).
Първо събираме показателите в числителя: \( a^{\frac{3}{4}} \cdot a^1 = a^{\frac{3}{4} + 1} = a^{\frac{7}{4}} \).
След това изваждаме показателя на знаменателя: \( a^{\frac{7}{4}} : a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{4} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{4} - \frac{2}{4}} = a^{\frac{5}{4}} \).
Отговор: \( a^{\frac{5}{4}} \).
След това изваждаме показателя на знаменателя: \( a^{\frac{7}{4}} : a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{4} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{4} - \frac{2}{4}} = a^{\frac{5}{4}} \).
Отговор: \( a^{\frac{5}{4}} \).
Трудна: Пресметнете \( \left( \frac{125}{64} \right)^{-\frac{2}{3}} \).
Отрицателният показател "обръща" основата: \( \left( \frac{125}{64} \right)^{-\frac{2}{3}} = \left( \frac{64}{125} \right)^{\frac{2}{3}} \).
Сега прилагаме дефиницията: \( \left( \frac{64}{125} \right)^{\frac{2}{3}} = \left( \sqrt[3]{\frac{64}{125}} \right)^2 \).
Коренуваме: \( \sqrt[3]{\frac{64}{125}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{4}{5} \).
Повдигаме на квадрат: \( \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} \).
Отговор: \( \frac{16}{25} \).
Сега прилагаме дефиницията: \( \left( \frac{64}{125} \right)^{\frac{2}{3}} = \left( \sqrt[3]{\frac{64}{125}} \right)^2 \).
Коренуваме: \( \sqrt[3]{\frac{64}{125}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{4}{5} \).
Повдигаме на квадрат: \( \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} \).
Отговор: \( \frac{16}{25} \).
