Най-важното от урока
Връзка степен-логаритъм: \(\log_a b = x\) е същото като \(a^x = b\). Пример: \(\log_2 16 = 4 \Leftrightarrow 2^4 = 16\).
Важни условия: Основата \(a>0, a\neq1\). Аргументът \(b>0\). Отрицателни числа и нула нямат логаритми.
Ключови свойства:
Важни условия: Основата \(a>0, a\neq1\). Аргументът \(b>0\). Отрицателни числа и нула нямат логаритми.
Ключови свойства:
- \(\log_a 1 = 0\) (Пример: \(\log_5 1 = 0\))
- \(\log_a a = 1\) (Пример: \(\lg 10 = 1\))
- \(a^{\log_a b} = b\) (Пример: \(3^{\log_3 5} = 5\))
- \(\log_a a^x = x\) (Пример: \(\ln e^7 = 7\))
Логаритъмът на числото b при основа a е степенният показател x, на който трябва да се повдигне основата a, за да се получи числото b.
Условия за съществуване: основата \(a > 0, a \neq 1\); логаритмуваното число \(b > 0\).
\[ a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a b \]
Това е основната връзка между степенуване и логаритмуване.
\(\log_2 8 = 3\), защото се питаме "на коя степен трябва да повдигнем 2, за да получим 8?". Отговорът е 3, тъй като \(2^3 = 8\).
Намерете стойността на \(\log_5 25\).
Търсим \(x\), за което \(5^x = 25\). Тъй като \(5^2 = 25\), то \(x=2\).
Отговор: \(\log_5 25 = 2\).
Отговор: \(\log_5 25 = 2\).
Десетичен логаритъм: Логаритъм с основа 10. Означава се с \(\lg b\) вместо \(\log_{10} b\).
\(\lg 1000 = 3\), защото \(10^3 = 1000\).
Естествен (натурален) логаритъм: Логаритъм с основа ирационалното число \(e \approx 2.718\). Означава се с \(\ln b\) вместо \(\log_e b\).
Пресметнете \(\lg 0.1\).
\(\lg 0.1 = \lg \frac{1}{10} = \lg 10^{-1}\). Тъй като основата е 10, търсим степента, на която да повдигнем 10, за да получим \(10^{-1}\).
Отговор: \(-1\).
Отговор: \(-1\).
1. Логаритъм от единица: \(\log_a 1 = 0\) (защото \(a^0 = 1\)).
2. Логаритъм от основата: \(\log_a a = 1\) (защото \(a^1 = a\)).
3. Основни тъждества:
- \(a^{\log_a b} = b\)
- \(\log_a a^x = x\)
- \(\log_{13} 1 = 0\)
- \(\ln e = 1\)
- \(5^{\log_5 7} = 7\)
- \(\log_2 2^9 = 9\)
Пресметнете стойността на израза \(10^{\lg 4} + \log_8 1\).
От основните тъждества знаем, че \(10^{\lg 4} = 4\).
От свойствата знаем, че \(\log_8 1 = 0\).
Следователно изразът е равен на \(4 + 0 = 4\).
От свойствата знаем, че \(\log_8 1 = 0\).
Следователно изразът е равен на \(4 + 0 = 4\).
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \(\log_3 81\).
Търсим степента \(x\), за която \(3^x = 81\).
Тъй като \(81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4\), то \(x=4\).
Отговор: 4.
Тъй като \(81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4\), то \(x=4\).
Отговор: 4.
Средна: Намерете \(x\), ако \(\log_x 64 = 3\).
От определението за логаритъм следва, че \(x^3 = 64\).
Тъй като \(4^3 = 64\), то \(x=4\).
Отговор: \(x=4\).
Тъй като \(4^3 = 64\), то \(x=4\).
Отговор: \(x=4\).
Трудна: Пресметнете стойността на израза \(7^{2 + \log_7 3}\).
Използваме свойството на степените \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\).
\[ 7^{2 + \log_7 3} = 7^2 \cdot 7^{\log_7 3} \] От основното логаритмично тъждество знаем, че \(7^{\log_7 3} = 3\).
\[ 49 \cdot 3 = 147 \] Отговор: 147.
\[ 7^{2 + \log_7 3} = 7^2 \cdot 7^{\log_7 3} \] От основното логаритмично тъждество знаем, че \(7^{\log_7 3} = 3\).
\[ 49 \cdot 3 = 147 \] Отговор: 147.
