Обобщение На Темата Степенуване

51. Обобщение На Темата Степенуване

Най-важното от урока

Най-важните правила за степени:

Нулев показател: $a^0 = 1$ (за $a \neq 0$). Пример: $123^0=1$.
Отрицателен показател: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Пример: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Умножение: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Пример: $x^2 \cdot x^3 = x^5$.
Деление: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Пример: $\frac{y^7}{y^4} = y^3$.
Степен на степен: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Пример: $(z^4)^2 = z^8$.
Степен на произведение: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Пример: $(2k)^3 = 8k^3$.
Степен на частно: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. Пример: $(\frac{p}{5})^2 = \frac{p^2}{25}$.

Действието степенуване е съкратен запис на произведение от равни множители. В израза $a^n$, числото $a$ се нарича основа, а $n$ се нарича степенен показател.

${Диаграма, показваща нотацията на степен $a^n$, където $n$ е степенен показател, а $a$ е основа на степента. Илюстрира, че $a^n$ е произведение от $n$ множители $a$: $a \cdot a \cdot \dots \cdot a$.}$

Изразът $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ се записва като $3^4$. Четем "три на четвърта степен".
Изчисляването на стойността се нарича степенуване: $3^4 = 81$.

Пресметнете стойността на степента $5^3$.

Отговор: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

При пресмятане на числови изрази, съдържащи степени, редът на действията е:

Действия в скоби.
Степенуване.
Умножение и деление (отляво надясно).
Събиране и изваждане (отляво надясно).

$10 + 2 \cdot 3^2 = 10 + 2 \cdot 9 = 10 + 18 = 28$. Първо извършваме степенуването ($3^2$), след това умножението и накрая събирането.

Пресметнете стойността на израза $(8 - 5)^2 + 4 \cdot 2$.

Решение: $(8 - 5)^2 + 4 \cdot 2 = 3^2 + 4 \cdot 2 = 9 + 8 = 17$.

Знакът на степен с отрицателна основа зависи от степенния показател:

Ако показателят е четно число, степента е положително число.
Ако показателят е нечетно число, степента е отрицателно число.

Внимавайте за разликата между $(-a)^n$ и $-a^n$. В първия случай основата е $-a$, а във втория основата е $a$ и знакът "минус" е пред степента.

$(-2)^4 = (-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2) = 16$ (четен показател)
$(-2)^3 = (-2)\cdot(-2)\cdot(-2) = -8$ (нечетен показател)
$-2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$

Пресметнете $ (-1)^5 + (-1)^6 $.

Решение: $(-1)^5 = -1$ (нечетен показател), $(-1)^6 = 1$ (четен показател).
$-1 + 1 = 0$.

Степен с нулев показател: $a^0 = 1$ (за всяко $a \neq 0$)

Степен с цял отрицателен показател: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (за всяко $a \neq 0$)

$7^0 = 1$
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$
$(\frac{2}{3})^{-1} = \frac{1}{(\frac{2}{3})^1} = \frac{3}{2}$

Пресметнете $4^{-1} + 10^0$.

Решение: $4^{-1} = \frac{1}{4}$, а $10^0 = 1$.
$\frac{1}{4} + 1 = 1\frac{1}{4}$ или $1.25$.

Нека $a, b$ са рационални числа, а $m, n$ са цели числа.

Умножение при равни основи: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Деление при равни основи: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (при $a \ne 0$)
Степенуване на степен: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
Степенуване на произведение: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
Степенуване на частно: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (при $b \ne 0$)

$\frac{(x^3)^2 \cdot x^5}{x^8} = \frac{x^{3 \cdot 2} \cdot x^5}{x^8} = \frac{x^6 \cdot x^5}{x^8} = \frac{x^{6+5}}{x^8} = \frac{x^{11}}{x^8} = x^{11-8} = x^3$

Пресметнете по рационален начин $0.25^7 \cdot 4^7$.

Решение: $0.25^7 \cdot 4^7 = (0.25 \cdot 4)^7 = 1^7 = 1$.

Нека $a^x$ и $a^y$ са две степени с равна основа $a$.

Ако основата $a > 1$, то по-голяма е степента с по-голям показател. От $x < y \Rightarrow a^x < a^y$.
Ако основата $0 < a < 1$, то по-голяма е степента с по-малък показател. От $x < y \Rightarrow a^x > a^y$.

$5^2 < 5^3$, защото основата $5 > 1$ и $2 < 3$.
$(\frac{1}{2})^2 > (\frac{1}{2})^3$, защото основата $0 < \frac{1}{2} < 1$ и $2 < 3$.

Сравнете числата $0.1^4$ и $0.1^2$.

Отговор: Тъй като основата $0 < 0.1 < 1$, а $4 > 2$, то $0.1^4 < 0.1^2$.

Стандартен запис на число е представянето му във вида $k \cdot 10^n$, където $1 \le k < 10$, а $n$ е цяло число, наречено порядък.

Записваме голямото число $475\;000$ така: $4.75 \cdot 100\;000 = 4.75 \cdot 10^5$. Порядъкът е 5.
Записваме малкото число $0.0078$ така: $7.8 \cdot 0.001 = 7.8 \cdot 10^{-3}$. Порядъкът е -3.

Запишете числото 93 000 000 в стандартен вид.

Отговор: $9.3 \cdot 10^7$.

В правоъгълен триъгълник с катети $a$ и $b$ и хипотенуза $c$, сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата.

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

{Диаграма на правоъгълен триъгълник с катети, означени с 'a' и 'b', и хипотенуза, означена с 'c'.}

Ако катетите на правоъгълен триъгълник са 6 cm и 8 cm, можем да намерим хипотенузата:
$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$c = \sqrt{100} = 10$ cm.

В правоъгълен триъгълник хипотенузата е 13 cm, а единият катет е 5 cm. Намерете дължината на другия катет.

Нека търсеният катет е $b$. От $a^2 + b^2 = c^2$ имаме:
$5^2 + b^2 = 13^2$
$25 + b^2 = 169$
$b^2 = 169 - 25 = 144$
$b = \sqrt{144} = 12$ cm.

Задачи за упражнение

Лесна: Пресметнете $ \frac{5^8}{5^6} + 3^0 - (-1)^4 $.

Решение: \[ \frac{5^8}{5^6} + 3^0 - (-1)^4 = 5^{8-6} + 1 - 1 = 5^2 + 0 = 25 \]

Средна: Опростете израза $ \frac{(2^3)^4 \cdot 8}{4^7} $ и го представете като степен с основа 2.

Решение: Първо представяме всички числа като степени на 2: $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$. \[ \frac{(2^3)^4 \cdot 2^3}{(2^2)^7} = \frac{2^{3 \cdot 4} \cdot 2^3}{2^{2 \cdot 7}} = \frac{2^{12} \cdot 2^3}{2^{14}} = \frac{2^{12+3}}{2^{14}} = \frac{2^{15}}{2^{14}} = 2^{15-14} = 2^1 = 2 \]

Трудна: Докажете, че числото $ A = 3^{15} + 3^{13} $ се дели на 10.

Решение: Изнасяме пред скоби степента с по-малък показател ($3^{13}$). \[ A = 3^{13} \cdot 3^2 + 3^{13} \cdot 1 = 3^{13} (3^2 + 1) \] \[ A = 3^{13} (9 + 1) = 3^{13} \cdot 10 \] Тъй като изразът е произведение, в което единият множител е 10, цялото число $A$ се дели на 10.