Най-важното от урока
Централен ъгъл на развивката: \( x^\circ = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ \). Показва колко "отворен" е секторът на околната повърхнина.
Лице на околна повърхнина (S): \( S = \pi r l \). Това е "обвивката" на конуса. Пример: за \(r=2, l=10\), \(S=20\pi\).
Лице на пълна повърхнина (S₁): \( S_1 = \pi r (l+r) \). Това е околната повърхнина плюс дъното (основата). Пример: за \(r=2, l=10\), \(S_1 = \pi \cdot 2 \cdot (10+2) = 24\pi\).
Лице на околна повърхнина (S): \( S = \pi r l \). Това е "обвивката" на конуса. Пример: за \(r=2, l=10\), \(S=20\pi\).
Лице на пълна повърхнина (S₁): \( S_1 = \pi r (l+r) \). Това е околната повърхнина плюс дъното (основата). Пример: за \(r=2, l=10\), \(S_1 = \pi \cdot 2 \cdot (10+2) = 24\pi\).
Развивката на околната повърхнина на прав кръгов конус е кръгов сектор. Неговият радиус е образуващата \(l\) на конуса, а дължината на дъгата му е равна на обиколката на основата на конуса (\(2\pi r\)).
\[ x^\circ = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ \]
Където \(r\) е радиусът на основата, а \(l\) е образуващата на конуса.
За конус с радиус \(r = 2\) cm и образуваща \(l = 5\) cm, централният ъгъл на развивката е:
\[ x^\circ = \frac{2}{5} \cdot 360^\circ = 0.4 \cdot 360^\circ = 144^\circ \]
Намерете централния ъгъл на развивката на конус с радиус \(r=3\) cm и образуваща \(l=10\) cm.
Прилагаме формулата:
\[ x^\circ = \frac{3}{10} \cdot 360^\circ = 108^\circ \]
Лицето на околната повърхнина \(S\) на конуса е равно на лицето на кръговия сектор, получен при разгъването ѝ.
\[ S = \pi r l \]
Където \(r\) е радиусът на основата, а \(l\) е образуващата на конуса.
Формулата може да се запише и като \(S = \frac{P \cdot l}{2}\), където \(P = 2\pi r\) е периметърът (обиколката) на основата.
Околната повърхнина на конус с радиус \(r = 4\) cm и образуваща \(l = 9\) cm е:
\[ S = \pi \cdot 4 \cdot 9 = 36\pi \text{ cm}^2 \]
Намерете лицето на околната повърхнина на конус с радиус на основата \(r = 5\) cm и образуваща \(l = 12\) cm.
Използваме формулата \(S = \pi r l\):
\[ S = \pi \cdot 5 \cdot 12 = 60\pi \text{ cm}^2 \]
Лицето на пълната повърхнина \(S_1\) на конуса е сбор от лицето на околната повърхнина \(S\) и лицето на основата \(B\).
\[ S_1 = S + B = \pi r l + \pi r^2 \]
За по-лесно пресмятане, формулата може да се запише така:
\[ S_1 = \pi r (l + r) \]
Където \(B = \pi r^2\) е лицето на основата (кръг).
Пълната повърхнина на конус с радиус \(r = 3\) cm и образуваща \(l = 7\) cm е:
\[ S_1 = \pi \cdot 3 \cdot (7 + 3) = \pi \cdot 3 \cdot 10 = 30\pi \text{ cm}^2 \]
Конус има радиус на основата \(r=6\) cm и образуваща \(l=10\) cm. Намерете лицето на пълната му повърхнина.
Прилагаме формулата \(S_1 = \pi r (l + r)\):
\[ S_1 = \pi \cdot 6 \cdot (10 + 6) = \pi \cdot 6 \cdot 16 = 96\pi \text{ cm}^2 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете в градуси ъгъла на развивката на конична повърхнина, ако радиусът на конуса е \(r = 4\) cm, а образуващата му е \(l = 9\) cm.
Използваме формулата \( x^\circ = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ \).
\[ x^\circ = \frac{4}{9} \cdot 360^\circ = 4 \cdot 40^\circ = 160^\circ \]
Отговор: \(160^\circ\).
Средна: Даден е конус с радиус \(r = 3\) cm и образуваща \(l = 6\) cm. Намерете лицето на околната и пълната му повърхнина.
1. Намираме околната повърхнина \(S\):
\[ S = \pi r l = \pi \cdot 3 \cdot 6 = 18\pi \text{ cm}^2 \]
2. Намираме пълната повърхнина \(S_1\):
\[ S_1 = \pi r (l + r) = \pi \cdot 3 \cdot (6 + 3) = \pi \cdot 3 \cdot 9 = 27\pi \text{ cm}^2 \]
Отговор: \(S = 18\pi \text{ cm}^2\), \(S_1 = 27\pi \text{ cm}^2\).
Трудна: Околната повърхнина на конус е \(S = 65\pi \text{ cm}^2\), а радиусът на основата му е \(r = 5\) cm. Намерете образуващата \(l\) и пълната повърхнина \(S_1\) на конуса.
1. От формулата за околна повърхнина \(S = \pi r l\) намираме \(l\):
\[ 65\pi = \pi \cdot 5 \cdot l \]
Делим двете страни на \(5\pi\):
\[ l = \frac{65\pi}{5\pi} = 13 \text{ cm} \]
2. Намираме пълната повърхнина \(S_1\), като към дадената околна повърхнина \(S\) прибавим лицето на основата \(B\):
\[ B = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ cm}^2 \]
\[ S_1 = S + B = 65\pi + 25\pi = 90\pi \text{ cm}^2 \]
Отговор: Образуващата е \(l=13\) cm, а пълната повърхнина е \(S_1=90\pi \text{ cm}^2\).
