Най-важното от урока
Формула: Две величини \(x\) и \(y\) са обратнопропорционални, ако \(x \cdot y = k\), където \(k\) е константа.
Ключово свойство: Ако \(x\) се увеличи \(n\) пъти, \(y\) се намалява \(n\) пъти. Пример: Ако 2 работници свършват работа за 10 дни, то 4 работници (2 пъти повече) ще я свършат за 5 дни (2 пъти по-бързо).
Решаване на задачи: Използвайте равенството \( \text{стойност}_{1A} \cdot \text{стойност}_{1B} = \text{стойност}_{2A} \cdot \text{стойност}_{2B} \). Пример: \( \text{скорост}_1 \cdot \text{време}_1 = \text{скорост}_2 \cdot \text{време}_2 \).
Ключово свойство: Ако \(x\) се увеличи \(n\) пъти, \(y\) се намалява \(n\) пъти. Пример: Ако 2 работници свършват работа за 10 дни, то 4 работници (2 пъти повече) ще я свършат за 5 дни (2 пъти по-бързо).
Решаване на задачи: Използвайте равенството \( \text{стойност}_{1A} \cdot \text{стойност}_{1B} = \text{стойност}_{2A} \cdot \text{стойност}_{2B} \). Пример: \( \text{скорост}_1 \cdot \text{време}_1 = \text{скорост}_2 \cdot \text{време}_2 \).
Две величини \(x\) и \(y\) са обратнопропорционални, ако произведението им е постоянна величина (\(k\)), различна от нула.
\[ y = \frac{k}{x} \quad \text{или} \quad x \cdot y = k \]
\(k\) се нарича коефициент на пропорционалност. Условията са \(k \neq 0\) и \(x \neq 0\).
Лицето на правоъгълник е \(S = 40 \, \text{см}^2\). Зависимостта между дължината \(x\) и ширината \(y\) е обратна пропорционалност: \(x \cdot y = 40\). Коефициентът на пропорционалност е \(k=40\).
Ако величините \(x\) и \(y\) са обратнопропорционални и при \(x=5\) стойността на \(y\) е 4, какъв е коефициентът на пропорционалност \(k\)?
Тъй като \(x \cdot y = k\), заместваме със стойностите:
\(5 \cdot 4 = k\)
\(k = 20\)
Отговор: Коефициентът е 20.
\(5 \cdot 4 = k\)
\(k = 20\)
Отговор: Коефициентът е 20.
Ако две величини са обратнопропорционални, то:
- Когато едната величина се увеличи няколко пъти, другата се намалява същия брой пъти.
- Когато едната величина се намали няколко пъти, другата се увеличава същия брой пъти.
В зависимостта \(y = \frac{24}{x}\):
Ако \(x=2\), то \(y=12\).
Ако увеличим \(x\) 3 пъти до \(x=6\), то \(y = \frac{24}{6} = 4\), което е 3 пъти по-малко от 12.
Ако \(x=2\), то \(y=12\).
Ако увеличим \(x\) 3 пъти до \(x=6\), то \(y = \frac{24}{6} = 4\), което е 3 пъти по-малко от 12.
Ако \(x\) и \(y\) са обратнопропорционални и намалим \(x\) 5 пъти, какво ще се случи с \(y\)?
Отговор: Стойността на \(y\) ще се увеличи 5 пъти.
Задачи, в които увеличаването на една величина води до намаляване на друга (напр. брой работници и време за работа), се решават с обратна пропорционалност.
Определете двете обратнопропорционални величини.
Запишете равенството \(x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2\), където (\(x_1, y_1\)) е едната двойка стойности, а (\(x_2, y_2\)) е другата.
Решете уравнението спрямо неизвестната величина.
Задача: 4 работници боядисват ограда за 6 часа. За колко часа ще я боядисат 8 работници?
Решение: Броят работници и времето са обратнопропорционални.
\( \text{работници}_1 \cdot \text{време}_1 = \text{работници}_2 \cdot \text{време}_2 \)
\( 4 \cdot 6 = 8 \cdot x \)
\( 24 = 8x \)
\( x = 3 \) часа.
Решение: Броят работници и времето са обратнопропорционални.
\( \text{работници}_1 \cdot \text{време}_1 = \text{работници}_2 \cdot \text{време}_2 \)
\( 4 \cdot 6 = 8 \cdot x \)
\( 24 = 8x \)
\( x = 3 \) часа.
Един автомобил изминава разстояние за 3 часа, движейки се със скорост 90 км/ч. За колко време ще измине същото разстояние, ако се движи със скорост 60 км/ч?
Скоростта и времето са обратнопропорционални.
\( \text{скорост}_1 \cdot \text{време}_1 = \text{скорост}_2 \cdot \text{време}_2 \)
\( 90 \cdot 3 = 60 \cdot x \)
\( 270 = 60x \)
\( x = \frac{270}{60} = 4.5 \) часа (или 4 часа и 30 минути).
\( \text{скорост}_1 \cdot \text{време}_1 = \text{скорост}_2 \cdot \text{време}_2 \)
\( 90 \cdot 3 = 60 \cdot x \)
\( 270 = 60x \)
\( x = \frac{270}{60} = 4.5 \) часа (или 4 часа и 30 минути).
Задачи за упражнение
Лесна: Величините \(x\) и \(y\) са обратнопропорционални. Ако \(x=2\), то \(y=9\). Намерете \(y\), когато \(x=3\).
Първо намираме коефициента \(k\): \(k = x \cdot y = 2 \cdot 9 = 18\).
Сега използваме \(k\), за да намерим \(y\): \(y = \frac{k}{x} = \frac{18}{3} = 6\).
Отговор: \(y=6\).
Сега използваме \(k\), за да намерим \(y\): \(y = \frac{k}{x} = \frac{18}{3} = 6\).
Отговор: \(y=6\).
Средна: 5 багера разчистват един терен за 12 дни. За колко дни ще разчистят същия терен 3 багера, ако работят със същата производителност?
Броят багери и времето са обратнопропорционални.
\( 5 \cdot 12 = 3 \cdot x \)
\( 60 = 3x \)
\( x = 20 \)
Отговор: За 20 дни.
\( 5 \cdot 12 = 3 \cdot x \)
\( 60 = 3x \)
\( x = 20 \)
Отговор: За 20 дни.
Трудна: За приготвяне на зимнина са необходими 60 буркана с вместимост 0.8 литра. Колко буркана ще са необходими, ако вместо тях се използват буркани с вместимост 1.2 литра?
Броят на бурканите и тяхната вместимост са обратнопропорционални (за едно и също общо количество).
\( \text{брой}_1 \cdot \text{вместимост}_1 = \text{брой}_2 \cdot \text{вместимост}_2 \)
\( 60 \cdot 0.8 = x \cdot 1.2 \)
\( 48 = 1.2x \)
\( x = \frac{48}{1.2} = \frac{480}{12} = 40 \)
Отговор: Необходими са 40 буркана.
\( \text{брой}_1 \cdot \text{вместимост}_1 = \text{брой}_2 \cdot \text{вместимост}_2 \)
\( 60 \cdot 0.8 = x \cdot 1.2 \)
\( 48 = 1.2x \)
\( x = \frac{48}{1.2} = \frac{480}{12} = 40 \)
Отговор: Необходими са 40 буркана.
