Най-важното от урока
Отношение и пропорция: Равенството \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) е пропорция. Основното му свойство е \(a \cdot d = b \cdot c\). То е ключът за намиране на неизвестен член.
Права пропорционалност (\(y=kx\)): Повече води до повече. Пример: Ако 1 билет струва 5 лв, 3 билета струват 15 лв. (\(\frac{1}{3} = \frac{5}{15}\)).
Обратна пропорционалност (\(y=k/x\)): Повече води до по-малко. Пример: Ако 2-ма работници свършват работа за 6 дни, 3-ма ще я свършат за 4 дни. (\(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\)).
Разпределение по отношение: За да разделим 100 лв. в отношение 2:3, представяме частите като \(2x\) и \(3x\). \(2x+3x=100 \implies 5x=100 \implies x=20\). Частите са 40 лв. и 60 лв.
Права пропорционалност (\(y=kx\)): Повече води до повече. Пример: Ако 1 билет струва 5 лв, 3 билета струват 15 лв. (\(\frac{1}{3} = \frac{5}{15}\)).
Обратна пропорционалност (\(y=k/x\)): Повече води до по-малко. Пример: Ако 2-ма работници свършват работа за 6 дни, 3-ма ще я свършат за 4 дни. (\(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\)).
Разпределение по отношение: За да разделим 100 лв. в отношение 2:3, представяме частите като \(2x\) и \(3x\). \(2x+3x=100 \implies 5x=100 \implies x=20\). Частите са 40 лв. и 60 лв.
Отношение е частното на две числа \(a\) и \(b\) (където \(b \neq 0\)). Записва се като \(a:b\) или \(\frac{a}{b}\) и се чете "a към b".
Когато образуваме отношение на величини, те трябва да са измерени с една и съща мерна единица.
Намерете отношението на дължина \(a = 1.2\) дм към широчина \(b = 4\) см.
Първо превръщаме в еднакви мерни единици: \(a = 1.2 \text{ дм} = 12 \text{ см}\).
Отношението е \(\frac{a}{b} = \frac{12 \text{ см}}{4 \text{ см}} = 3\).
Първо превръщаме в еднакви мерни единици: \(a = 1.2 \text{ дм} = 12 \text{ см}\).
Отношението е \(\frac{a}{b} = \frac{12 \text{ см}}{4 \text{ см}} = 3\).
Намерете отношението на 2 метра към 50 сантиметра.
Превръщаме 2 м в сантиметри: \(2 \text{ м} = 200 \text{ см}\).
Отношението е \(200 : 50 = 4\).
Отношението е \(200 : 50 = 4\).
Пропорцията е равенство на две отношения. Записва се като \(a:b = c:d\) или \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\).
Числата \(a, b, c, d\) се наричат членове на пропорцията.
- \(a\) и \(d\) са крайни членове.
- \(b\) и \(c\) са средни членове.
Равенството \(\frac{12}{18} = \frac{6}{9}\) е пропорция, защото и двете отношения са равни на \(\frac{2}{3}\).
Тук крайните членове са 12 и 9, а средните са 18 и 6.
Тук крайните членове са 12 и 9, а средните са 18 и 6.
Пропорция ли е равенството \(\frac{4}{5} = \frac{12}{15}\)?
Да, пропорция е. Можем да съкратим дясната дроб на 3: \(\frac{12:3}{15:3} = \frac{4}{5}\). Получаваме \(\frac{4}{5} = \frac{4}{5}\).
Във всяка пропорция произведението на крайните членове е равно на произведението на средните членове.
Ако \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), то \(a \cdot d = b \cdot c\).
Това свойство се използва за проверка на пропорции и за намиране на неизвестен член (четвърта пропорционална).
Намерете \(x\) в пропорцията \(\frac{x}{5} = \frac{14}{35}\).
Прилагаме основното свойство: \(x \cdot 35 = 5 \cdot 14\).
\(35x = 70 \implies x = \frac{70}{35} \implies x = 2\).
Прилагаме основното свойство: \(x \cdot 35 = 5 \cdot 14\).
\(35x = 70 \implies x = \frac{70}{35} \implies x = 2\).
Намерете неизвестния член \(x\) в пропорцията \(3:x = 12:16\).
Записваме като \(\frac{3}{x} = \frac{12}{16}\).
Прилагаме основното свойство: \(3 \cdot 16 = x \cdot 12\).
\(48 = 12x \implies x = \frac{48}{12} \implies x = 4\).
Прилагаме основното свойство: \(3 \cdot 16 = x \cdot 12\).
\(48 = 12x \implies x = \frac{48}{12} \implies x = 4\).
Две величини \(x\) и \(y\) са правопропорционални, ако с увеличаването на едната, другата се увеличава същия брой пъти. Зависимостта е \(y = k \cdot x\), където \(k\) е константа, наречена коефициент на пропорционалност.
Графиката на права пропорционалност е права линия, минаваща през началото на координатната система \(O(0,0)\).
Автомобил изминава 180 км за 2 часа. Колко километра ще измине за 3 часа, ако се движи със същата скорост?
1. Намираме скоростта (коефициента на пропорционалност): \(k = \frac{y}{x} = \frac{180 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 90\) км/ч.
2. Намираме разстоянието за 3 часа: \(y = k \cdot x = 90 \cdot 3 = 270\) км.
Алтернативно, съставяме пропорция: \(\frac{180}{x} = \frac{2}{3} \implies 2x = 540 \implies x = 270\) км.
1. Намираме скоростта (коефициента на пропорционалност): \(k = \frac{y}{x} = \frac{180 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 90\) км/ч.
2. Намираме разстоянието за 3 часа: \(y = k \cdot x = 90 \cdot 3 = 270\) км.
Алтернативно, съставяме пропорция: \(\frac{180}{x} = \frac{2}{3} \implies 2x = 540 \implies x = 270\) км.
Ако 5 еднакви тениски струват 60 лв., колко струват 8 такива тениски?
Нека цената на 8 тениски е \(x\). Съставяме пропорция:
\[\frac{5 \text{ бр.}}{8 \text{ бр.}} = \frac{60 \text{ лв.}}{x \text{ лв.}}\]
\(5x = 8 \cdot 60 \implies 5x = 480 \implies x = 96\) лв.
Две величини \(x\) и \(y\) са обратнопропорционални, ако с увеличаването на едната, другата се намалява същия брой пъти. Зависимостта е \(y = \frac{k}{x}\) (или \(x \cdot y = k\)), където \(k\) е константа.
Четирима работници боядисват ограда за 6 дни. За колко дни ще я боядисат 3-ма работници?
1. Зависимостта е обратна (по-малко работници \(\implies\) повече време).
2. Намираме константата \(k\), която представлява обемът работа (човекодни): \(k = 4 \cdot 6 = 24\).
3. Намираме новото време: \(y = \frac{k}{x} = \frac{24}{3} = 8\) дни.
Алтернативно, съставяме пропорция, като обръщаме едното отношение: \(\frac{4 \text{ раб.}}{3 \text{ раб.}} = \frac{x \text{ дни}}{6 \text{ дни}} \implies 3x = 4 \cdot 6 \implies x=8\) дни.
1. Зависимостта е обратна (по-малко работници \(\implies\) повече време).
2. Намираме константата \(k\), която представлява обемът работа (човекодни): \(k = 4 \cdot 6 = 24\).
3. Намираме новото време: \(y = \frac{k}{x} = \frac{24}{3} = 8\) дни.
Алтернативно, съставяме пропорция, като обръщаме едното отношение: \(\frac{4 \text{ раб.}}{3 \text{ раб.}} = \frac{x \text{ дни}}{6 \text{ дни}} \implies 3x = 4 \cdot 6 \implies x=8\) дни.
Автомобил изминава разстояние за 3 часа, движейки се със скорост 80 км/ч. За колко време ще измине същото разстояние, ако се движи със 120 км/ч?
Нека новото време е \(x\). Зависимостта е обратна (по-висока скорост \(\implies\) по-малко време).
\[\frac{80 \text{ км/ч}}{120 \text{ км/ч}} = \frac{x \text{ ч}}{3 \text{ ч}}\]
\(120x = 80 \cdot 3 \implies 120x = 240 \implies x = 2\) часа.
Отношение от вида \(a:b:c\) се използва за разпределяне на дадена величина на части, пропорционални на числата \(a, b, c\).
Частите се представят като \(ax, bx, cx\). Сборът им се приравнява на общата величина, намира се \(x\) и след това се изчисляват отделните части.
Разделете сумата от 900 лв. между трима души в отношение \(2:3:4\).
1. Представяме дяловете като \(2x, 3x, 4x\).
2. Сборът им е \(2x + 3x + 4x = 900\).
3. \(9x = 900 \implies x = 100\).
4. Дяловете са: \(2 \cdot 100 = 200\) лв., \(3 \cdot 100 = 300\) лв. и \(4 \cdot 100 = 400\) лв.
1. Представяме дяловете като \(2x, 3x, 4x\).
2. Сборът им е \(2x + 3x + 4x = 900\).
3. \(9x = 900 \implies x = 100\).
4. Дяловете са: \(2 \cdot 100 = 200\) лв., \(3 \cdot 100 = 300\) лв. и \(4 \cdot 100 = 400\) лв.
Страните на триъгълник се отнасят както \(3:4:5\). Намерете ги, ако периметърът му е 24 см.
Нека страните са \(3x, 4x, 5x\).
\(3x + 4x + 5x = 24 \implies 12x = 24 \implies x=2\).
Страните са \(3 \cdot 2 = 6\) см, \(4 \cdot 2 = 8\) см и \(5 \cdot 2 = 10\) см.
\(3x + 4x + 5x = 24 \implies 12x = 24 \implies x=2\).
Страните са \(3 \cdot 2 = 6\) см, \(4 \cdot 2 = 8\) см и \(5 \cdot 2 = 10\) см.
Диаграмите (стълбовидни, кръгови) и графиките (линейни) представят данни визуално. За да ги разчетем, трябва да следим внимателно осите, легендата и стойностите.
Пшеницата заема 50% от общата площ.
Площ = \(50\% \text{ от } 12600 = 0.50 \cdot 12600 = 6300\) дка.
От същата диаграма намерете отношението на площите, заети от царевица, слънчоглед и пшеница.
Отношението е равно на отношението на процентите:
\(20\% : 30\% : 50\%\)
Съкращаваме на 10: \(2 : 3 : 5\).
\(20\% : 30\% : 50\%\)
Съкращаваме на 10: \(2 : 3 : 5\).
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете \(x\), ако \(\frac{15}{x} = \frac{3}{2}\).
От основното свойство на пропорциите: \(15 \cdot 2 = x \cdot 3\).
\(30 = 3x \implies x = \frac{30}{3} \implies x = 10\).
\(30 = 3x \implies x = \frac{30}{3} \implies x = 10\).
Средна: Периметърът на правоъгълник е 54 cm, а страните му се отнасят както 7:2. Намерете страните и лицето му.
Нека страните са \(a=7x\) и \(b=2x\).
Периметърът е \(P = 2(a+b) \implies 54 = 2(7x+2x) \implies 54 = 2(9x) \implies 54 = 18x \implies x=3\).
Страните са \(a = 7 \cdot 3 = 21\) cm и \(b = 2 \cdot 3 = 6\) cm.
Лицето е \(S = a \cdot b = 21 \cdot 6 = 126\) cm².
Периметърът е \(P = 2(a+b) \implies 54 = 2(7x+2x) \implies 54 = 2(9x) \implies 54 = 18x \implies x=3\).
Страните са \(a = 7 \cdot 3 = 21\) cm и \(b = 2 \cdot 3 = 6\) cm.
Лицето е \(S = a \cdot b = 21 \cdot 6 = 126\) cm².
Трудна: В един самолет пътниците са 186. Отношението на децата към жените е 1:3, а на жените към мъжете е 4:5. Намерете броя на децата, жените и мъжете.
1. Изравняваме общия член "жени" в двете отношения. НОК(3, 4) = 12.
деца : жени \(= (1 \cdot 4) : (3 \cdot 4) = 4:12\)
жени : мъже \(= (4 \cdot 3) : (5 \cdot 3) = 12:15\)
2. Получаваме разширено отношение: деца : жени : мъже = \(4:12:15\).
3. Нека броят им е \(4x, 12x, 15x\).
\(4x + 12x + 15x = 186 \implies 31x = 186 \implies x=6\).
4. Намираме броя на всяка група:
деца : жени \(= (1 \cdot 4) : (3 \cdot 4) = 4:12\)
жени : мъже \(= (4 \cdot 3) : (5 \cdot 3) = 12:15\)
2. Получаваме разширено отношение: деца : жени : мъже = \(4:12:15\).
3. Нека броят им е \(4x, 12x, 15x\).
\(4x + 12x + 15x = 186 \implies 31x = 186 \implies x=6\).
4. Намираме броя на всяка група:
- Деца: \(4 \cdot 6 = 24\)
- Жени: \(12 \cdot 6 = 72\)
- Мъже: \(15 \cdot 6 = 90\)
