Най-важното от урока
Допирателна и радиус: Допирателната към окръжност е винаги перпендикулярна (\(90^\circ\)) на радиуса в точката на допиране.
Две допирателни от външна точка: Ако от точка \(M\) се построят две допирателни към окръжност с допирни точки \(T_1\) и \(T_2\), то:
- Дължините на отсечките са равни: \(MT_1 = MT_2\).
- Правата \(OM\) разполовява ъгъла \(\angle T_1 M T_2\).
Две допирателни от външна точка: Ако от точка \(M\) се построят две допирателни към окръжност с допирни точки \(T_1\) и \(T_2\), то:
- Дължините на отсечките са равни: \(MT_1 = MT_2\).
- Правата \(OM\) разполовява ъгъла \(\angle T_1 M T_2\).
Ако една права е допирателна към окръжност, тя е перпендикулярна на радиуса в допирната точка.
Ако правата \(t\) е допирателна към окръжност \(k(O;r)\) в точка \(T\), тогава \(t \perp OT\). Това означава, че \(\angle(t, OT) = 90^\circ\).
На чертежа правата \(t\) е допирателна към окръжността в точка \(T\). Тъй като \(OT\) е радиус, ъгълът между \(t\) и \(OT\) е \(90^\circ\).
През точка \(A\) от окръжност \(k(O)\) е построена допирателна \(d\). Какъв е ъгълът между радиуса \(OA\) и допирателната \(d\)?
Отговор: Ъгълът е \(90^\circ\), защото допирателната е перпендикулярна на радиуса в допирната точка.
Ако от точка \(M\), външна за окръжност \(k\), са построени две допирателни към нея с допирни точки \(T_1\) и \(T_2\), то:
1. Дължините на допирателните отсечки са равни: \(MT_1 = MT_2\).
2. Правата OM е ъглополовяща на ъгъла между допирателните: \(OM\) разполовява \(\angle T_1MT_2\).
1. Дължините на допирателните отсечки са равни: \(MT_1 = MT_2\).
2. Правата OM е ъглополовяща на ъгъла между допирателните: \(OM\) разполовява \(\angle T_1MT_2\).
От точка \(P\) извън окръжност са спуснати допирателни отсечки \(PA\) и \(PB\). Ако \(PA = 15 \text{ см}\), то и \(PB = 15 \text{ см}\). Ако \(\angle APB = 50^\circ\), то правата \(PO\) (свързваща \(P\) с центъра на окръжността) разделя този ъгъл на два ъгъла по \(25^\circ\) (\(\angle APO = \angle BPO = 25^\circ\)).
От точка \(A\) извън окръжност \(k(O)\) са построени допирателни \(AB\) и \(AC\), където \(B\) и \(C\) са допирните точки. Ако \(\angle BAC = 70^\circ\), намерете \(\angle BAO\).
Отговор: Правата \(AO\) е ъглополовяща на \(\angle BAC\). Следователно \(\angle BAO = \angle BAC / 2 = 70^\circ / 2 = 35^\circ\).
Задачи за упражнение
Лесна: От точка \(K\) извън окръжност са построени допирателни отсечки \(KA\) и \(KB\). Ако \(KA = 8 \text{ см}\), намерете дължината на \(KB\).
Съгласно свойството на допирателните отсечки от външна точка, те са равни.
Следователно \(KB = KA = 8 \text{ см}\).
Следователно \(KB = KA = 8 \text{ см}\).
Средна: В правоъгълния \(\triangle ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) е вписана окръжност \(k(O)\), която се допира до катетите \(AC\) и \(BC\) съответно в точки \(P\) и \(Q\). Ако \(AP = 5 \text{ см}\) и \(BQ = 7 \text{ см}\), намерете дължините на катетите \(AC\) и \(BC\), знаейки, че четириъгълникът \(OPCQ\) е квадрат.
От свойството на допирателните отсечки от точка \(A\), имаме \(AP = AD = 5 \text{ см}\), където \(D\) е допирната точка с хипотенузата. По същия начин \(BQ=BE=7 \text{ см}\), където Е е допирната точка с хипотенузата.
За катетите:
Тъй като \(OPCQ\) е квадрат и \(OP = OQ\) са радиуси, допирателните отсечки от точка \(C\) са \(CP = CQ = r\).
От точка \(A\), допирателната отсечка \(AP=5 \text{ см}\).
От точка \(B\), допирателната отсечка \(BQ=7 \text{ см}\). Окръжността се допира до \(AC\) и \(BC\) в точки \(P\) и \(Q\). Тъй като \(\angle C = 90^\circ\), а радиусите \(OP\) и \(OQ\) са перпендикулярни на \(AC\) и \(BC\), четириъгълникът \(OPCQ\) е квадрат. Следователно \(CP = CQ = r\). Допирателните отсечки от връх \(A\) са \(AP\) и допирателната до хипотенузата. От връх \(B\) са \(BQ\) и допирателната до хипотенузата. Но за катетите имаме: \(AC = AP + PC\). \(BC = BQ + QC\). От свойството на допирателните от връх \(C\), \(CP=CQ\). Задачата е непълно дефинирана, но ако приемем, че се пита за периметъра на триъгълника, ще ни трябва и радиусът. Ако приемем, че \(P\) и \(Q\) са допирните точки с катетите, а \(R\) с хипотенузата, то \(AP = AR = 5\) и \(BQ = BR = 7\). Катетите са \(AC = AP+PC\) и \(BC = BQ+QC\). \(OPCQ\) е квадрат с \(PC=QC=r\). \(AC = 5+r, BC = 7+r\). За да се намерят катетите е нужен радиусът. Корекция на условието, за да е решимо: Да приемем, че се пита за израза на катетите чрез радиуса. \(AC = AP = 5 \text{ см}\) и \(BC = BQ = 7 \text{ см}\). Четириъгълникът \(PCQA\) е неточно описан. Да приемем, че допирните точки са \(P\) на \(AC\) и \(Q\) на \(BC\). Имаме \(AP=5\) и \(BQ=7\). От свойството на допирателните отсечки: \(CP = CQ\). Ако приемем, че \(r\) е радиусът на вписаната окръжност, то \(CP = CQ = r\). Тогава катетите са: \(AC = AP + PC = 5 + r\) и \(BC = BQ + QC = 7 + r\). Отговор (при това тълкуване): Катетите са \(5+r\) и \(7+r\), където \(r\) е радиусът на вписаната окръжност.
От точка \(A\), допирателната отсечка \(AP=5 \text{ см}\).
От точка \(B\), допирателната отсечка \(BQ=7 \text{ см}\). Окръжността се допира до \(AC\) и \(BC\) в точки \(P\) и \(Q\). Тъй като \(\angle C = 90^\circ\), а радиусите \(OP\) и \(OQ\) са перпендикулярни на \(AC\) и \(BC\), четириъгълникът \(OPCQ\) е квадрат. Следователно \(CP = CQ = r\). Допирателните отсечки от връх \(A\) са \(AP\) и допирателната до хипотенузата. От връх \(B\) са \(BQ\) и допирателната до хипотенузата. Но за катетите имаме: \(AC = AP + PC\). \(BC = BQ + QC\). От свойството на допирателните от връх \(C\), \(CP=CQ\). Задачата е непълно дефинирана, но ако приемем, че се пита за периметъра на триъгълника, ще ни трябва и радиусът. Ако приемем, че \(P\) и \(Q\) са допирните точки с катетите, а \(R\) с хипотенузата, то \(AP = AR = 5\) и \(BQ = BR = 7\). Катетите са \(AC = AP+PC\) и \(BC = BQ+QC\). \(OPCQ\) е квадрат с \(PC=QC=r\). \(AC = 5+r, BC = 7+r\). За да се намерят катетите е нужен радиусът. Корекция на условието, за да е решимо: Да приемем, че се пита за израза на катетите чрез радиуса. \(AC = AP = 5 \text{ см}\) и \(BC = BQ = 7 \text{ см}\). Четириъгълникът \(PCQA\) е неточно описан. Да приемем, че допирните точки са \(P\) на \(AC\) и \(Q\) на \(BC\). Имаме \(AP=5\) и \(BQ=7\). От свойството на допирателните отсечки: \(CP = CQ\). Ако приемем, че \(r\) е радиусът на вписаната окръжност, то \(CP = CQ = r\). Тогава катетите са: \(AC = AP + PC = 5 + r\) и \(BC = BQ + QC = 7 + r\). Отговор (при това тълкуване): Катетите са \(5+r\) и \(7+r\), където \(r\) е радиусът на вписаната окръжност.
Трудна: От точка \(M\) извън окръжност \(k(O;r)\) са построени допирателните \(MT_1\) и \(MT_2\). \(MT_1 = 12 \text{ см}\). Трета допирателна е построена между \(T_1\) и \(T_2\), като тя пресича \(MT_1\) в точка \(N\) и \(MT_2\) в точка \(Q\). Намерете периметъра на \(\triangle MNQ\).
Нека допирната точка на третата допирателна с окръжността е \(P\).
Периметърът на \(\triangle MNQ\) е \(P_{\triangle MNQ} = MN + NQ + QM\).
Отсечката \(NQ\) може да се представи като сбор от \(NP + PQ\).
Така \(P_{\triangle MNQ} = MN + NP + PQ + QM\).
От свойството на допирателните от външна точка, имаме:
Групираме събираемите: \(P_{\triangle MNQ} = (MN + NT_1) + (QM + QT_2)\)
Сборовете в скобите са всъщност първоначалните допирателни отсечки: \((MN + NT_1) = MT_1\) \((QM + QT_2) = MT_2\)
Следователно \(P_{\triangle MNQ} = MT_1 + MT_2\).
Тъй като \(MT_1 = MT_2 = 12 \text{ см}\) (отново от свойството за допирателни от външна точка М), то: \(P_{\triangle MNQ} = 12 + 12 = 24 \text{ см}\).
От свойството на допирателните от външна точка, имаме:
- От точка \(N\): \(NP = NT_1\)
- От точка \(Q\): \(PQ = QT_2\)
Групираме събираемите: \(P_{\triangle MNQ} = (MN + NT_1) + (QM + QT_2)\)
Сборовете в скобите са всъщност първоначалните допирателни отсечки: \((MN + NT_1) = MT_1\) \((QM + QT_2) = MT_2\)
Следователно \(P_{\triangle MNQ} = MT_1 + MT_2\).
Тъй като \(MT_1 = MT_2 = 12 \text{ см}\) (отново от свойството за допирателни от външна точка М), то: \(P_{\triangle MNQ} = 12 + 12 = 24 \text{ см}\).
