89. Забележителни Точки в Триъгълника Упражнение

В задачата се използват стандартните означения за точките в триъгълник: $H$ – ортоцентър (пресечна точка на височините) $I$ – център на вписаната окръжност (пресечна точка на ъглополовящите) $O$ – център на описаната окръжност (пресечна точка на симетралите) Ъглите на $\triangle ABC$ ще означим стандартно с $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ и $\angle C = \gamma$.

Стъпка 1: Намиране на $\angle A$ (\(\alpha\)) чрез ортоцентъра $H$

Нека построим височините $BB_1$ и $CC_1$, които се пресичат в точка $H$. Разглеждаме четириъгълника $AB_1HC_1$. Тъй като $BB_1 \perp AC$ и $CC_1 \perp AB$, то $\angle AB_1H = 90^\circ$ и $\angle AC_1H = 90^\circ$. Сборът от ъглите в четириъгълника $AB_1HC_1$ е $360^\circ$: \[ \angle A + \angle AC_1H + \angle B_1HC_1 + \angle AB_1H = 360^\circ \] \[ \alpha + 90^\circ + \angle B_1HC_1 + 90^\circ = 360^\circ \] \[ \alpha + \angle B_1HC_1 = 180^\circ \Rightarrow \angle B_1HC_1 = 180^\circ - \alpha \] Ъглите $\angle B_1HC_1$ и $\angle BHC$ са връхни, следователно са равни. Така получаваме: \[ \angle BHC = 180^\circ - \alpha \] От друга страна, знаем, че сборът от ъглите в триъгълника е $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Ако заместим $180^\circ$ с този сбор, получаваме полезна зависимост: \[ \angle BHC = \cancel{\alpha} + \beta + \gamma - \cancel{\alpha} = \beta + \gamma \] По условие $\angle BHC = 136^\circ$, следователно $\beta + \gamma = 136^\circ$. Намираме ъгъл $\alpha$: \[ \alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma) = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ \]

Стъпка 2: Намиране на $\angle BIC$ чрез центъра на вписаната окръжност $I$

Точка $I$ е пресечната точка на ъглополовящите. В $\triangle BIC$ ъглите при върховете $B$ и $C$ са съответно половинките от ъглите на големия триъгълник, тоест $\angle IBC = \frac{\beta}{2}$ и $\angle ICB = \frac{\gamma}{2}$. Използваме теоремата за сбора на ъглите в $\triangle BIC$: \[ \angle BIC + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = 180^\circ \] \[ \angle BIC = 180^\circ - \left(\frac{\beta + \gamma}{2}\right) \] Тъй като вече намерихме, че $\beta + \gamma = 136^\circ$, заместваме: \[ \angle BIC = 180^\circ - \frac{136^\circ}{2} = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ \] Забележка: Може да се използва и директната формула за ъгъл между ъглополовящи: \[ \angle BIC = 90^\circ + \frac{\alpha}{2} = 90^\circ + \frac{44^\circ}{2} = 90^\circ + 22^\circ = 112^\circ \]

Стъпка 3: Намиране на $\angle BOC$ чрез центъра на описаната окръжност $O$

Точка $O$ е центърът на описаната около $\triangle ABC$ окръжност. Ъгъл $\angle BAC$ ($\alpha$) е вписан ъгъл и се измерва с половината от дъгата $BC$, която отсича: \[ \angle BAC = \frac{\text{дъгата } BC}{2} \] Ъгъл $\angle BOC$ е централен ъгъл, който отсича същата дъга $BC$, следователно той се измерва с цялата дъга: \[ \angle BOC = \text{дъгата } BC \] От тези две твърдения следва, че централният ъгъл е два пъти по-голям от вписания ъгъл: \[ \angle BOC = 2 \cdot \alpha \] Заместваме намерената стойност за $\alpha$: \[ \angle BOC = 2 \cdot 44^\circ = 88^\circ \]

\[ \angle BHC = 180^\circ - \angle A \Rightarrow 136^\circ = 180^\circ - \angle A \Rightarrow \angle A = 44^\circ \] \[ \angle BIC = 90^\circ + \frac{\angle A}{2} = 90^\circ + \frac{44^\circ}{2} = 112^\circ \] \[ \angle BOC = 2\angle A = 2 \cdot 44^\circ = 88^\circ \]