23. Приложения На Свойствата На Квадратните Корени

а) \(\sqrt{12^4}, \sqrt{(-9)^4}, \sqrt{3^6}, \sqrt{(-3)^8}, \sqrt{11^4} \text{ и } \sqrt{10^{12}}\)

Пресмятане на \(\sqrt{12^4}\)

Прилагаме свойството \(\sqrt{a^{2k}} = a^k\) за положителни числа: \[ \sqrt{12^4} = \sqrt{(12^2)^2} = 12^2 = 144 \]

Пресмятане на \(\sqrt{(-9)^4}\)

Тъй че \((-9)^4 = 9^4\): \[ \sqrt{(-9)^4} = \sqrt{(9^2)^2} = 9^2 = 81 \]

Пресмятане на \(\sqrt{3^6}\)

Представяме като точен квадрат: \[ \sqrt{3^6} = \sqrt{(3^3)^2} = 3^3 = 27 \]

Пресмятане на \(\sqrt{(-3)^8}\)

Тъй че четната степен на отрицателно число е положителна: \[ \sqrt{(-3)^8} = \sqrt{(3^4)^2} = 3^4 = 81 \]

Пресмятане на \(\sqrt{11^4}\)

\[ \sqrt{11^4} = \sqrt{(11^2)^2} = 11^2 = 121 \]

Пресмятане на \(\sqrt{10^{12}}\)

\[ \sqrt{10^{12}} = \sqrt{(10^6)^2} = 10^6 = 1\,000\,000 \]

б) \(\sqrt{20\,736}, \sqrt{50\,625}, \sqrt{28\,224}, \sqrt{680\,625} \text{ и } \sqrt{18\,225}\)

Пресмятане на \(\sqrt{20\,736}\)

Разлагаме числото на прости множители: \[ 20\,736 = 2^8 \cdot 3^4 \] \[ \sqrt{20\,736} = \sqrt{2^8 \cdot 3^4} = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144 \]

Пресмятане на \(\sqrt{50\,625}\)

Разлагаме числото на множители: \[ 50\,625 = 3^4 \cdot 5^4 \] \[ \sqrt{50\,625} = \sqrt{3^4 \cdot 5^4} = 3^2 \cdot 5^2 = 9 \cdot 25 = 225 \]

Пресмятане на \(\sqrt{28\,224}\)

Разлагаме числото на прости множители: \[ 28\,224 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \] \[ \sqrt{28\,224} = \sqrt{2^6 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 8 \cdot 21 = 168 \]

Пресмятане на \(\sqrt{680\,625}\)

Разлагаме числото на множители: \[ 680\,625 = 3^2 \cdot 5^4 \cdot 11^2 \] \[ \sqrt{680\,625} = \sqrt{3^2 \cdot 5^4 \cdot 11^2} = 3 \cdot 5^2 \cdot 11 = 3 \cdot 25 \cdot 11 = 75 \cdot 11 = 825 \]

Пресмятане на \(\sqrt{18\,225}\)

Разлагаме числото на множители: \[ 18\,225 = 3^6 \cdot 5^2 \] \[ \sqrt{18\,225} = \sqrt{3^6 \cdot 5^2} = 3^3 \cdot 5 = 27 \cdot 5 = 135 \]

в) Числови изрази

Пресмятане на \(-5 : \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{0,81}\)

Изчисляваме стойностите на корените и извършваме действията по ред: \[ -5 : \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{0,81} = -5 : 0,5 \cdot 0,9 = -10 \cdot 0,9 = -9 \]

Пресмятане на \(0,3\sqrt{1,21} \cdot \sqrt{400}\)

\[ 0,3\sqrt{1,21} \cdot \sqrt{400} = 0,3 \cdot 1,1 \cdot 20 = 0,33 \cdot 20 = 6,6 \]

Пресмятане на \(\sqrt{(-0,6)^4} : \sqrt{(-1)^8} \cdot \sqrt{10^4}\)

\[ \sqrt{(-0,6)^4} = (-0,6)^2 = 0,36 \] \[ \sqrt{(-1)^8} = (-1)^4 = 1 \] \[ \sqrt{10^4} = 10^2 = 100 \] \[ 0,36 : 1 \cdot 100 = 36 \]

Пресмятане на \(\sqrt{5\frac{1}{16}} \cdot \sqrt{2\frac{34}{81}} : \sqrt{4}\)

Преобразуваме смесените числа в неправилни дроби: \[ 5\frac{1}{16} = \frac{81}{16}, \quad 2\frac{34}{81} = \frac{196}{81} \] \[ \sqrt{\frac{81}{16}} \cdot \sqrt{\frac{196}{81}} : \sqrt{4} = \frac{9}{4} \cdot \frac{14}{9} : 2 = \frac{\cancel{9}^1}{\cancel{4}_2} \cdot \frac{\cancel{14}^7}{\cancel{9}_1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} \]

Пресмятане на \(\sqrt{\frac{4^2 \cdot 3^6}{7^4}}\)

Прилагаме свойството за корен от дроб и произведение: \[ \sqrt{\frac{4^2 \cdot 3^6}{7^4}} = \frac{\sqrt{4^2} \cdot \sqrt{3^6}}{\sqrt{7^4}} = \frac{4 \cdot 3^3}{7^2} = \frac{4 \cdot 27}{49} = \frac{108}{49} = 2\frac{10}{49} \]

Пресмятане на \(\frac{2\sqrt{44}-\sqrt{11}}{\sqrt{11}}\)

Изнасяме множител от \(\sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}\): \[ \frac{2 \cdot 2\sqrt{11} - \sqrt{11}}{\sqrt{11}} = \frac{4\sqrt{11} - \sqrt{11}}{\sqrt{11}} = \frac{3\cancel{\sqrt{11}}}{\cancel{\sqrt{11}}} = 3 \]

а)

\( \sqrt{12^4}=144 \), \( \sqrt{(-9)^4}=81 \), \( \sqrt{3^6}=27 \), \( \sqrt{(-3)^8}=81 \), \( \sqrt{11^4}=121 \), \( \sqrt{10^{12}}=1\,000\,000 \)

б)

\( \sqrt{20\,736}=144 \), \( \sqrt{50\,625}=225 \), \( \sqrt{28\,224}=168 \), \( \sqrt{680\,625}=825 \), \( \sqrt{18\,225}=135 \)

в)

\( -5:0,5 \cdot 0,9 = -9 \) \( 0,3 \cdot 1,1 \cdot 20 = 6,6 \) \( 0,36 : 1 \cdot 100 = 36 \) \( \frac{9}{4} \cdot \frac{14}{9} : 2 = \frac{7}{4} \) \( \frac{4 \cdot 27}{49} = \frac{108}{49} \) \( \frac{4\sqrt{11}-\sqrt{11}}{\sqrt{11}} = 3 \)