Най-важното от урока
Ключови изводи:
Четириъгълник е описан, ако страните му се допират до окръжност. За да проверите дали това е възможно, използвайте едно от двете условия:
Четириъгълник е описан, ако страните му се допират до окръжност. За да проверите дали това е възможно, използвайте едно от двете условия:
- Чрез страни (Теорема на Питон): Сумите на срещуположните страни трябва да са равни.
Пример: Ако страните са 4, 7, 11, трябва четвъртата страна \(x\) да е такава, че \(4+11 = 7+x \implies x=8\). - Чрез ъгли: Ъглополовящите на три от ъглите трябва да се пресекат в една точка (центъра на вписаната окръжност).
Пример: В ромб диагоналите са ъглополовящи и се пресичат в една точка, затова всеки ромб е описан.
Четириъгълник, на който и четирите страни се допират до една окръжност, се нарича описан около окръжността.
Окръжността се нарича вписана в четириъгълника.
На чертежа четириъгълникът ABCD е описан около окръжността k. Центърът на вписаната окръжност (O) е на равни разстояния от всяка от страните на четириъгълника.
Ако един четириъгълник е описан, какво е свойството на центъра на вписаната в него окръжност спрямо страните му?
Центърът на вписаната окръжност е точка, която е на равни разстояния от четирите страни на четириъгълника.
Един четириъгълник е описан около окръжност тогава и само тогава, когато сумите на дължините на срещуположните му страни са равни.
\[ AB + CD = BC + DA \]
Това условие е едновременно необходимо и достатъчно.
Четириъгълник ABCD е описан около окръжност. Ако \(AB = 12\) cm, \(BC = 9\) cm и \(CD = 8\) cm, намерете дължината на страната \(DA\) и периметъра на четириъгълника.
Решение: От теоремата имаме \( AB + CD = BC + DA \).
\( 12 + 8 = 9 + DA \)
\( 20 = 9 + DA \implies DA = 11 \) cm.
Периметърът е \( P = AB+BC+CD+DA = (AB+CD) + (BC+DA) = 20 + 20 = 40 \) cm.
Решение: От теоремата имаме \( AB + CD = BC + DA \).
\( 12 + 8 = 9 + DA \)
\( 20 = 9 + DA \implies DA = 11 \) cm.
Периметърът е \( P = AB+BC+CD+DA = (AB+CD) + (BC+DA) = 20 + 20 = 40 \) cm.
Може ли четириъгълник със страни 5 cm, 7 cm, 10 cm и 8 cm в този ред да бъде описан около окръжност?
Проверяваме сумите на срещуположните страни:
\( 5 + 10 = 15 \)
\( 7 + 8 = 15 \)
Тъй като сумите са равни, четириъгълникът може да бъде описан около окръжност.
\( 5 + 10 = 15 \)
\( 7 + 8 = 15 \)
Тъй като сумите са равни, четириъгълникът може да бъде описан около окръжност.
Един изпъкнал четириъгълник е описан около окръжност тогава и само тогава, когато ъглополовящите на три от вътрешните му ъгли се пресичат в една точка.
Тази пресечна точка е центърът на вписаната окръжност.
Във всеки ромб може да се впише окръжност, защото диагоналите му са ъглополовящи на ъглите и се пресичат в една точка.
Ъглополовящите на \(\angle A\) и \(\angle B\) в четириъгълника ABCD се пресичат в точка O. Ако разстоянието от O до страната AB е 5 cm, а до страната CD е 4 cm, може ли този четириъгълник да е описан?
Не. Ако четириъгълникът беше описан, точка O щеше да е център на вписаната окръжност и разстоянията от нея до всички страни трябваше да са равни (равни на радиуса). Тук разстоянието до AB (5 cm) е различно от разстоянието до CD (4 cm).
Задачи за упражнение
Лесна: Описан четириъгълник има периметър 48 cm. Сумата на две негови съседни страни е 20 cm. Намерете дължините на останалите две страни.
Нека страните са \(a, b, c, d\). Дадено е \(P = a+b+c+d = 48\) и \(a+b = 20\).
От \(P=48\) следва, че \(c+d = 48 - (a+b) = 48 - 20 = 28\) cm.
Тъй като четириъгълникът е описан, \(a+c = b+d\).
Също така \(a+c = P/2 = 48/2 = 24\).
Имаме системата:
\(a+b=20\)
\(a+c=24 \implies c = 24-a\)
От \(c+d=28 \implies d = 28-c = 28-(24-a)=4+a\).
Заместваме в \(b+d = 24 \implies b + (4+a) = 24 \implies a+b=20\), което е даденото условие. Задачата има безброй решения в зависимост от избора на \(a\).
Корекция на условието: Ако сумата на ДВЕ СРЕЩУПОЛОЖНИ страни е 20 cm, то сумата и на другите две е 20 cm. Ако едната от първите две е \(x\), другата е \(20-x\).
Оригинално решение (за съседни страни): Нека \(a=10, b=10\). Тогава \(c=14, d=14\).
Отговор: Задачата има много решения. Например, ако едната страна е 10 cm, другата е 10 cm, а останалите две са 14 cm и 14 cm.
От \(P=48\) следва, че \(c+d = 48 - (a+b) = 48 - 20 = 28\) cm.
Тъй като четириъгълникът е описан, \(a+c = b+d\).
Също така \(a+c = P/2 = 48/2 = 24\).
Имаме системата:
\(a+b=20\)
\(a+c=24 \implies c = 24-a\)
От \(c+d=28 \implies d = 28-c = 28-(24-a)=4+a\).
Заместваме в \(b+d = 24 \implies b + (4+a) = 24 \implies a+b=20\), което е даденото условие. Задачата има безброй решения в зависимост от избора на \(a\).
Корекция на условието: Ако сумата на ДВЕ СРЕЩУПОЛОЖНИ страни е 20 cm, то сумата и на другите две е 20 cm. Ако едната от първите две е \(x\), другата е \(20-x\).
Оригинално решение (за съседни страни): Нека \(a=10, b=10\). Тогава \(c=14, d=14\).
Отговор: Задачата има много решения. Например, ако едната страна е 10 cm, другата е 10 cm, а останалите две са 14 cm и 14 cm.
Средна: Равнобедрен трапец е описан около окръжност. Ако основите му са 10 cm и 6 cm, намерете дължината на бедрото и средната отсечка на трапеца.
Нека основите са \(a=10\) cm и \(b=6\) cm, а бедрото е \(c\).
Тъй като трапецът е описан, важи \(a+b = c+c = 2c\).
\(10 + 6 = 2c \implies 16 = 2c \implies c = 8\) cm.
Дължината на бедрото е 8 cm.
Средната отсечка \(m\) се намира по формулата \(m = \frac{a+b}{2}\).
\(m = \frac{10+6}{2} = \frac{16}{2} = 8\) cm.
Отговор: Бедрото е 8 cm, средната отсечка също е 8 cm.
Тъй като трапецът е описан, важи \(a+b = c+c = 2c\).
\(10 + 6 = 2c \implies 16 = 2c \implies c = 8\) cm.
Дължината на бедрото е 8 cm.
Средната отсечка \(m\) се намира по формулата \(m = \frac{a+b}{2}\).
\(m = \frac{10+6}{2} = \frac{16}{2} = 8\) cm.
Отговор: Бедрото е 8 cm, средната отсечка също е 8 cm.
Трудна: Докажете, че ако успоредник е описан около окръжност, то той е ромб.
Нека успоредникът е ABCD със страни \(AB=a, BC=b, CD=c, DA=d\).
1. От свойството на успоредника знаем, че срещуположните страни са равни: \(AB=CD=a\) и \(BC=DA=b\).
2. Тъй като успоредникът е описан около окръжност, за него е в сила теоремата на Питон: \(AB+CD = BC+DA\).
3. Заместваме с означенията от стъпка 1: \(a+a = b+b\), което води до \(2a = 2b\), или \(a=b\).
4. Получихме, че две съседни страни на успоредника са равни (\(a=b\)). Успоредник с равни съседни страни е ромб.
Следователно, успоредник, описан около окръжност, е ромб.
1. От свойството на успоредника знаем, че срещуположните страни са равни: \(AB=CD=a\) и \(BC=DA=b\).
2. Тъй като успоредникът е описан около окръжност, за него е в сила теоремата на Питон: \(AB+CD = BC+DA\).
3. Заместваме с означенията от стъпка 1: \(a+a = b+b\), което води до \(2a = 2b\), или \(a=b\).
4. Получихме, че две съседни страни на успоредника са равни (\(a=b\)). Успоредник с равни съседни страни е ромб.
Следователно, успоредник, описан около окръжност, е ромб.
