Най-важното от урока
Правилна/Неправилна дроб: \( \frac{3}{7} \) е правилна (\(3<7\)), \( \frac{8}{5} \) е неправилна (\(8>5\)).
Основно свойство: \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) (съкращаване).
Смесено число: \( \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3} \).
Общ знаменател: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \rightarrow \frac{3}{6} + \frac{2}{6} \).
Умножение/Деление: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \); \( \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2} \).
Част от число: \( \frac{1}{4} \) от 20 е \( \frac{1}{4} \cdot 20 = 5 \).
Основно свойство: \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) (съкращаване).
Смесено число: \( \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3} \).
Общ знаменател: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \rightarrow \frac{3}{6} + \frac{2}{6} \).
Умножение/Деление: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \); \( \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2} \).
Част от число: \( \frac{1}{4} \) от 20 е \( \frac{1}{4} \cdot 20 = 5 \).
Правилна дроб: Дроб, на която числителят е по-малък от знаменателя.
Тя винаги е по-малка от 1.
Тя винаги е по-малка от 1.
Неправилна дроб: Дроб, на която числителят е по-голям или равен на знаменателя.
Тя винаги е по-голяма или равна на 1.
Тя винаги е по-голяма или равна на 1.
\( \frac{3}{8} \) е правилна дроб.
\( \frac{11}{5} \) и \( \frac{7}{7} \) са неправилни дроби.
\( \frac{11}{5} \) и \( \frac{7}{7} \) са неправилни дроби.
Коя от дробите е правилна и коя неправилна: \( \frac{9}{10}, \frac{10}{9} \)?
\( \frac{9}{10} \) е правилна дроб (9 < 10).
\( \frac{10}{9} \) е неправилна дроб (10 > 9).
\( \frac{10}{9} \) е неправилна дроб (10 > 9).
Стойността на една дроб не се променя, ако умножим (разширяване) или разделим (съкращаване) числителя и знаменателя с едно и също естествено число, различно от 0.
Разширяване: \( \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20} \)
Съкращаване: \( \frac{6}{9} = \frac{6 : 3}{9 : 3} = \frac{2}{3} \)
Съкращаване: \( \frac{6}{9} = \frac{6 : 3}{9 : 3} = \frac{2}{3} \)
Съкратете дробта \( \frac{15}{25} \).
Най-големият общ делител на 15 и 25 е 5.
\( \frac{15}{25} = \frac{15 : 5}{25 : 5} = \frac{3}{5} \)
\( \frac{15}{25} = \frac{15 : 5}{25 : 5} = \frac{3}{5} \)
Смесеното число е друг запис на неправилна дроб, по-голяма от 1. Състои се от цяла част и дробна част.
Разделяме числителя на знаменателя. Частното е цялата част, а остатъкът е новият числител.
Пример: \( \frac{17}{5} \rightarrow 17:5 = 3 \) (ост. 2) \( \rightarrow 3 \frac{2}{5} \)
Пример: \( \frac{17}{5} \rightarrow 17:5 = 3 \) (ост. 2) \( \rightarrow 3 \frac{2}{5} \)
Умножаваме цялата част по знаменателя и прибавяме числителя. Това е новият числител.
Пример: \( 3 \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{15+2}{5} = \frac{17}{5} \)
Пример: \( 3 \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{15+2}{5} = \frac{17}{5} \)
Превърнете \( 4 \frac{2}{3} \) в неправилна дроб.
\( 4 \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{12 + 2}{3} = \frac{14}{3} \)
За да сравним дроби с различни знаменатели, първо ги привеждаме към общ знаменател (намираме НОК на знаменателите) и след това сравняваме числителите им.
Сравнете \( \frac{3}{8} \) и \( \frac{5}{12} \).
- НОК(8, 12) = 24. Това е общият знаменател.
- Намираме допълнителни множители: \(24:8=3\) и \(24:12=2\).
- Разширяваме дробите: \( \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24} \) и \( \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24} \).
- Сравняваме: Тъй като \( 9 < 10 \), то \( \frac{9}{24} < \frac{10}{24} \), следователно \( \frac{3}{8} < \frac{5}{12} \).
Коя дроб е по-голяма: \( \frac{2}{3} \) или \( \frac{4}{5} \)?
НОК(3, 5) = 15.
\( \frac{2}{3} = \frac{10}{15} \) и \( \frac{4}{5} = \frac{12}{15} \).
Тъй като \( 10 < 12 \), то \( \frac{2}{3} < \frac{4}{5} \). По-голяма е \( \frac{4}{5} \).
\( \frac{2}{3} = \frac{10}{15} \) и \( \frac{4}{5} = \frac{12}{15} \).
Тъй като \( 10 < 12 \), то \( \frac{2}{3} < \frac{4}{5} \). По-голяма е \( \frac{4}{5} \).
Привеждаме дробите към общ знаменател, след което събираме или изваждаме числителите.
Пример: \( \frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12} \)
Пример: \( \frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12} \)
Умножаваме числител с числител и знаменател със знаменател.
Пример: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21} \)
Пример: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21} \)
Умножаваме първата дроб с реципрочната на втората (обръщаме я).
Пример: \( \frac{1}{2} : \frac{3}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} \)
Пример: \( \frac{1}{2} : \frac{3}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} \)
Пресметнете \( \frac{5}{6} : \frac{2}{3} \).
\( \frac{5}{6} : \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{12} \). След съкращаване на 3: \( \frac{5}{4} \) или \( 1\frac{1}{4} \).
Умножаваме дробта по числото.
Колко е \( \frac{2}{5} \) от 30? \( \rightarrow \frac{2}{5} \cdot 30 = \frac{60}{5} = 12 \).
Колко е \( \frac{2}{5} \) от 30? \( \rightarrow \frac{2}{5} \cdot 30 = \frac{60}{5} = 12 \).
Делим дадената част на дробта.
\( \frac{2}{5} \) от кое число е 12? \( \rightarrow 12 : \frac{2}{5} = 12 \cdot \frac{5}{2} = 30 \).
\( \frac{2}{5} \) от кое число е 12? \( \rightarrow 12 : \frac{2}{5} = 12 \cdot \frac{5}{2} = 30 \).
Делим първото число на второто.
Каква част е 12 от 30? \( \rightarrow \frac{12}{30} = \frac{12:6}{30:6} = \frac{2}{5} \).
Каква част е 12 от 30? \( \rightarrow \frac{12}{30} = \frac{12:6}{30:6} = \frac{2}{5} \).
Мария има 24 лв. и е похарчила \( \frac{1}{3} \) от тях. Колко лева е похарчила?
Търсим \( \frac{1}{3} \) от 24.
\( \frac{1}{3} \cdot 24 = \frac{24}{3} = 8 \). Похарчила е 8 лв.
\( \frac{1}{3} \cdot 24 = \frac{24}{3} = 8 \). Похарчила е 8 лв.
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \( 3 \frac{1}{5} + \frac{3}{5} \).
\( 3 \frac{1}{5} + \frac{3}{5} = 3 + (\frac{1}{5} + \frac{3}{5}) = 3 + \frac{4}{5} = 3 \frac{4}{5} \).
Или: \( \frac{16}{5} + \frac{3}{5} = \frac{19}{5} = 3 \frac{4}{5} \).
Или: \( \frac{16}{5} + \frac{3}{5} = \frac{19}{5} = 3 \frac{4}{5} \).
Средна: Пресметнете \( (2 - \frac{1}{4}) \cdot \frac{2}{7} \).
Първо извършваме действието в скобите:
\( 2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \)
След това умножаваме:
\( \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{7 \cdot 2}{4 \cdot 7} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2} \)
\( 2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \)
След това умножаваме:
\( \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{7 \cdot 2}{4 \cdot 7} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2} \)
Трудна: В една кошница \( \frac{1}{3} \) от плодовете са ябълки, \( \frac{1}{4} \) са круши, а останалите 10 плода са сливи. Колко общо плодове има в кошницата?
1. Намираме каква част от плодовете са ябълки и круши общо:
\( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \)
2. Намираме каква част са останалите плодове (сливите). Цялото е 1.
\( 1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12} \)
3. Знаем, че \( \frac{5}{12} \) от всички плодове са 10. Намираме цялото число по дадена негова част:
\( 10 : \frac{5}{12} = 10 \cdot \frac{12}{5} = \frac{120}{5} = 24 \)
Отговор: В кошницата има общо 24 плода.
\( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \)
2. Намираме каква част са останалите плодове (сливите). Цялото е 1.
\( 1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12} \)
3. Знаем, че \( \frac{5}{12} \) от всички плодове са 10. Намираме цялото число по дадена негова част:
\( 10 : \frac{5}{12} = 10 \cdot \frac{12}{5} = \frac{120}{5} = 24 \)
Отговор: В кошницата има общо 24 плода.
