124. Обем На Куб

За да попълним таблицата за куб, трябва да използваме следните основни формули, където \( a \) е ръбът на куба: 1. Периметър на една стена (квадрат): \( P = 4 \cdot a \) 2. Лице на една стена (квадрат): \( B = a \cdot a = a^2 \) 3. Пълна повърхнина на куба (6 еднакви стени): \( S_1 = 6 \cdot B = 6 \cdot a^2 \) 4. Обем на куба: \( V = a \cdot a \cdot a = a^3 \)

а) Дадено: \( a = 3 \text{ cm} \)

Стъпка 1: Намиране на периметъра \( P \)

Използваме формулата \( P = 4 \cdot a \): \( P = 4 \cdot 3 = 12 \text{ cm} \)

Стъпка 2: Намиране на лицето на една стена \( B \)

Използваме формулата \( B = a \cdot a \): \( B = 3 \cdot 3 = 9 \text{ cm}^2 \)

Стъпка 3: Намиране на пълната повърхнина \( S_1 \)

Използваме формулата \( S_1 = 6 \cdot B \): \( S_1 = 6 \cdot 9 = 54 \text{ cm}^2 \)

Стъпка 4: Намиране на обема \( V \)

Използваме формулата \( V = a \cdot a \cdot a \): \( V = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27 \text{ cm}^3 \)

б) Дадено: \( P = 20 \text{ cm} \)

Стъпка 1: Намиране на ръба \( a \)

От \( P = 4 \cdot a \) следва, че \( a = P : 4 \): \( a = 20 : 4 = 5 \text{ cm} \)

Стъпка 2: Намиране на лицето на една стена \( B \)

\( B = a \cdot a = 5 \cdot 5 = 25 \text{ cm}^2 \)

Стъпка 3: Намиране на пълната повърхнина \( S_1 \)

\( S_1 = 6 \cdot B = 6 \cdot 25 = 150 \text{ cm}^2 \)

Стъпка 4: Намиране на обема \( V \)

\( V = a \cdot a \cdot a = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125 \text{ cm}^3 \)

в) Дадено: \( B = 36 \text{ cm}^2 \)

Стъпка 1: Намиране на ръба \( a \)

Търсим число, което умножено само по себе си дава 36. Тъй като \( 6 \cdot 6 = 36 \), то: \( a = 6 \text{ cm} \)

Стъпка 2: Намиране на периметъра \( P \)

\( P = 4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24 \text{ cm} \)

Стъпка 3: Намиране на пълната повърхнина \( S_1 \)

\( S_1 = 6 \cdot B = 6 \cdot 36 = 216 \text{ cm}^2 \)

Стъпка 4: Намиране на обема \( V \)

\( V = a \cdot a \cdot a = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216 \text{ cm}^3 \)

г) Дадено: \( S_1 = 54 \text{ cm}^2 \)

Стъпка 1: Намиране на лицето на една стена \( B \)

От \( S_1 = 6 \cdot B \) следва, че \( B = S_1 : 6 \): \( B = 54 : 6 = 9 \text{ cm}^2 \)

Стъпка 2: Намиране на ръба \( a \)

Тъй като \( B = a \cdot a \) и \( 3 \cdot 3 = 9 \), то: \( a = 3 \text{ cm} \)

Стъпка 3: Намиране на периметъра \( P \)

\( P = 4 \cdot a = 4 \cdot 3 = 12 \text{ cm} \)

Стъпка 4: Намиране на обема \( V \)

\( V = a \cdot a \cdot a = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \text{ cm}^3 \)

д) Дадено: \( V = 64 \text{ cm}^3 \)

Стъпка 1: Намиране на ръба \( a \)

Търсим число \( a \), за което \( a \cdot a \cdot a = 64 \). Проверяваме: \( 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64 \). Следователно: \( a = 4 \text{ cm} \)

Стъпка 2: Намиране на периметъра \( P \)

\( P = 4 \cdot a = 4 \cdot 4 = 16 \text{ cm} \)

Стъпка 3: Намиране на лицето на една стена \( B \)

\( B = a \cdot a = 4 \cdot 4 = 16 \text{ cm}^2 \)

Стъпка 4: Намиране на пълната повърхнина \( S_1 \)

\( S_1 = 6 \cdot B = 6 \cdot 16 = 96 \text{ cm}^2 \)

Попълнена таблица:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & a \text{ (cm)} & P \text{ (cm)} & B \text{ (cm}^2\text{)} & S_1 \text{ (cm}^2\text{)} & V \text{ (cm}^3\text{)} \\ \hline \text{а)} & 3 & 12 & 9 & 54 & 27 \\ \hline \text{б)} & 5 & 20 & 25 & 150 & 125 \\ \hline \text{в)} & 6 & 24 & 36 & 216 & 216 \\ \hline \text{г)} & 3 & 12 & 9 & 54 & 27 \\ \hline \text{д)} & 4 & 16 & 16 & 96 & 64 \\ \hline \end{array} \]

а) \( a=3, P=4 \cdot 3=12, B=3 \cdot 3=9, S_1=6 \cdot 9=54, V=3^3=27 \) б) \( a=20:4=5, B=5^2=25, S_1=6 \cdot 25=150, V=5^3=125 \) в) \( a=6, P=4 \cdot 6=24, S_1=6 \cdot 36=216, V=6^3=216 \) г) \( B=54:6=9, a=3, P=4 \cdot 3=12, V=3^3=27 \) д) \( a=4, P=4 \cdot 4=16, B=4^2=16, S_1=6 \cdot 16=96 \) \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & a \text{ (cm)} & P \text{ (cm)} & B \text{ (cm}^2\text{)} & S_1 \text{ (cm}^2\text{)} & V \text{ (cm}^3\text{)} \\ \hline \text{а)} & 3 & 12 & 9 & 54 & 27 \\ \hline \text{б)} & 5 & 20 & 25 & 150 & 125 \\ \hline \text{в)} & 6 & 24 & 36 & 216 & 216 \\ \hline \text{г)} & 3 & 12 & 9 & 54 & 27 \\ \hline \text{д)} & 4 & 16 & 16 & 96 & 64 \\ \hline \end{array} \]