Височини в Триъгълник

Избери решение на задача:

а)\( AA_{1} = h_{a} \)
1. Поставяме чертожен триъгълник с катет върху правата \( BC \).
2. Плъзгаме го до връх \( A \) и начертаваме \( AA_{1} \perp BC \). Тъй като ъгъл \( A \) е най-голям и в двата случая височината пада вътре в триъгълника.
б)\( BB_{1} = h_{b} \)
1. Поставяме чертожен триъгълник с катет върху правата \( AC \).
2. Плъзгаме го до връх \( B \) и начертаваме \( BB_{1} \perp AC \). В тъпоъгълния триъгълник продължаваме страната \( CA \) след връх \( A \), за да спуснем перпендикуляра.
в)\( CC_{1} = h_{c} \)
1. Поставяме чертожен триъгълник с катет върху правата \( AB \).
2. Плъзгаме го до връх \( C \) и начертаваме \( CC_{1} \perp AB \). В тъпоъгълния триъгълник продължаваме страната \( BA \) наляво от връх \( A \), за да спуснем перпендикуляра.

Основни понятия
Височината в триъгълник е отсечка, която съединява връх на триъгълника с точка от срещуположната страна (или нейното продължение) и е перпендикулярна на тази страна. За начертаването ще използваме чертожен триъгълник. Имаме два вида триъгълници в условието: остроъгълен (вляво) и тъпоъгълен (вдясно, където ъгълът при връх \( A \) е тъп).

а) Височината \( AA_{1} = h_{a} \)
Стъпка 1: Построяване в остроъгълен триъгълник
1. Поставяме единия катет на чертожния триъгълник върху страната \( BC \).
2. Плъзгаме триъгълника по правата \( BC \), докато другият му катет премине през връх \( A \).
3. Начертаваме отсечката \( AA_{1} \perp BC \). Тъй като триъгълникът е остроъгълен, точка \( A_{1} \) лежи на отсечката \( BC \).

Стъпка 2: Построяване в тъпоъгълен триъгълник
1. В дадения тъпоъгълен триъгълник (вдясно) ъгълът при върха \( A \) е тъп, следователно другите два ъгъла са остри.
2. Височината, спусната от върха на тъпия ъгъл към срещуположната страна, винаги пада вътре в триъгълника. 
3. Поставяме катета на чертожния триъгълник върху страната \( BC \) и го плъзгаме до връх \( A \).
4. Начертаваме \( AA_{1} \perp BC \). Точка \( A_{1} \) лежи на отсечката \( BC \).


За а): В остроъгълния триъгълник начертайте отсечка от А до ВС, перпендикулярна на ВС. В тъпоъгълния триъгълник продължете ВС наляво и спуснете перпендикуляр от А към продължението.

б) Височината \( BB_{1} = h_{b} \)
Стъпка 1: Построяване в остроъгълен триъгълник
1. Поставяме единия катет на чертожния триъгълник върху страната \( AC \).
2. Плъзгаме го, докато другият катет съвпадне с връх \( B \).
3. Начертаваме отсечката \( BB_{1} \perp AC \). Височината пада вътре в триъгълника.

Стъпка 2: Построяване в тъпоъгълен триъгълник
1. Тъй като ъгълът при връх \( A \) е тъп, височината от връх \( B \) към страната \( AC \) ще падне извън триъгълника, върху продължението на страната.
2. С помощта на линийка продължаваме страната \( CA \) след връх \( A \) (надолу и наляво) с прекъсната линия.
3. Поставяме катета на чертожния триъгълник върху това продължение и го плъзгаме до връх \( B \).
4. Начертаваме \( BB_{1} \perp AC \), където \( B_{1} \) лежи на продължението на \( AC \).


За б): Спуснете перпендикуляр от връх В към страната АС (или нейното продължение). Означете точката с B1 и маркирайте правия ъгъл.

в) Височината \( CC_{1} = h_{c} \)
Стъпка 1: Построяване в остроъгълен триъгълник
1. Поставяме катета на чертожния триъгълник върху страната \( AB \).
2. Плъзгаме до връх \( C \).
3. Начертаваме отсечката \( CC_{1} \perp AB \), която пада вътре в триъгълника.

Стъпка 2: Построяване в тъпоъгълен триъгълник
1. Отново заради тъпия ъгъл при връх \( A \), височината от връх \( C \) към страната \( AB \) пада извън триъгълника.
2. Продължаваме страната \( BA \) наляво (след връх \( A \)) с прекъсната линия.
3. Поставяме катета на чертожния триъгълник върху това продължение и плъзгаме до връх \( C \).
4. Начертаваме \( CC_{1} \perp AB \), като \( C_{1} \) лежи на продължението на \( AB \).


За в): Спуснете перпендикуляр от връх С към страната АВ. Означете точката с C1 и маркирайте правия ъгъл.

Кратък запис на решението:

а) \( AA_{1} = h_a \)
Чертаем перпендикуляр от връх \( A \) към страната \( BC \). И в двата триъгълника \( A_{1} \) лежи на \( BC \).
б) \( BB_{1} = h_b \)
Чертаем перпендикуляр от връх \( B \) към страната \( AC \). В тъпоъгълния триъгълник \( B_{1} \) лежи на продължението на \( CA \) след връх \( A \).
в) \( CC_{1} = h_c \)
Чертаем перпендикуляр от връх \( C \) към страната \( AB \). В тъпоъгълния триъгълник \( C_{1} \) лежи на продължението на \( BA \) след връх \( A \).

Най-важното от урока

Височина: Перпендикуляр от връх към срещулежащата страна (или нейното продължение).
Остроъгълен $\triangle$: Всичките 3 височини са вътрешни.
Правоъгълен $\triangle$: 2 височини съвпадат с катетите, 1 е вътрешна.
Тъпоъгълен $\triangle$: 2 височини са външни (към продълженията на страните), 1 е вътрешна.

Отсечката, която свързва връх на триъгълник с точка от срещуположната му страна (или нейното продължение) и е перпендикулярна на нея, се нарича височина.

Височината към страната $a$ се означава с $h_a$, към страната $b$ с $h_b$, и към страната $c$ с $h_c$.

${Изобразява триъгълник ABC. От върха C е спуснат перпендикуляр към страната AB. Точката, в която перпендикулярът пресича AB, е означена с C₁. Отсечката CC₁ е височината към страната AB (или $h_c$).}$ На чертежа отсечката $CC_1$ е височината към страната $AB$, защото $CC_1 \perp AB$.

В $\triangle LMN$, отсечката $LK$ е перпендикулярна на страната $MN$. Как се нарича отсечката $LK$?

Отговор: $LK$ е височината към страната $MN$, или $h_l$.

В остроъгълен триъгълник и трите височини се намират вътре в триъгълника.

${Изобразява остроъгълен триъгълник ABC. Височините $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ са начертани. Всички те лежат изцяло в контура на триъгълника и се пресичат в една точка вътре в него.}$ Всички височини $h_a$, $h_b$ и $h_c$ са вътрешни за триъгълника.

Ако един триъгълник е остроъгълен, къде ще лежи височината, спусната от връх A към страната BC?

Отговор: Височината ще бъде вътре в триъгълника.

В правоъгълен триъгълник две от височините съвпадат с катетите. Третата височина (от върха на правия ъгъл) е вътре в триъгълника.

${Изобразява правоъгълен триъгълник ABC с прав ъгъл при върха C. Катетът AC е перпендикулярен на катета BC. Височината от C към хипотенузата AB е означена като $h_c$.}$ Ако $\triangle ABC$ е правоъгълен с $\sphericalangle C = 90^\circ$:

Височината към страната $BC$ ($a$) е катетът $AC$ ($b$). Тоест, $h_a = b$.
Височината към страната $AC$ ($b$) е катетът $BC$ ($a$). Тоест, $h_b = a$.
Височината към хипотенузата $AB$ ($c$) е $h_c$ и тя е вътре в триъгълника.

Даден е правоъгълен $\triangle PQR$ с прав ъгъл при върха $Q$. Кои две отсечки са едновременно страни и височини в триъгълника?

Отговор: Катетите $PQ$ и $QR$. $PQ$ е височината към $QR$, а $QR$ е височината към $PQ$.

В тъпоъгълен триъгълник две от височините са външни. Те се спускат към продълженията на страните, които образуват тъпия ъгъл. Само височината към страната срещу тъпия ъгъл е вътрешна.

{Изобразява тъпоъгълен триъгълник ABC с тъп ъгъл при върха A. Страните AB и AC са продължени с пунктирани линии. Височината от връх C пада върху продължението на страната AB. Височината от връх B пада върху продължението на страната AC. Височината от връх A пада върху страната BC и е вътре в триъгълника.}

Ако в $\triangle ABC$ ъгълът при върха $A$ е тъп:

Височината $h_a$ (от $A$ към $BC$) е вътре в триъгълника.
Височината $h_b$ (от $B$ към $AC$) е извън триъгълника.
Височината $h_c$ (от $C$ към $AB$) е извън триъгълника.

В $\triangle XYZ$, ъгълът при върха $Y$ е $110^\circ$. Височината от върха $X$ към страната $YZ$ вътрешна ли е или външна?

Отговор: Външна, защото се спуска от остър ъгъл ($X$) към страна ($YZ$), която е рамо на тъпия ъгъл. Тя ще лежи на продължението на $YZ$.

Задачи за упражнение

Лесна: В $\triangle ABC$ са построени височините $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. И трите лежат изцяло в триъгълника. Какъв е видът на $\triangle ABC$ според ъглите му?

Отговор: Триъгълникът е остроъгълен. Само при остроъгълните триъгълници и трите височини са вътрешни.

Средна: Даден е правоъгълен $\triangle MNK$ с хипотенуза $MN$ и прав ъгъл при върха $K$. Коя е височината към страната $MK$?

Отговор: Тъй като $\sphericalangle K = 90^\circ$, катетите са $MK$ и $NK$. Те са взаимно перпендикулярни. Следователно височината към катета $MK$ е другият катет $NK$.

Трудна: В $\triangle RST$ ъгълът при върха $S$ е тъп. Коя от трите височини ($h_r$, $h_s$, $h_t$) ще бъде вътре в триъгълника?

Отговор: Вътре в триъгълника ще бъде само височината, спусната от върха с тъпия ъгъл. В този случай това е върхът $S$, следователно височината $h_s$ (към страната $RT$) е вътрешна.

97. Височини в Триъгълник

Избери решение на задача:

Основни понятия

а) Височината \( AA_{1} = h_{a} \)

Стъпка 1: Построяване в остроъгълен триъгълник

Стъпка 2: Построяване в тъпоъгълен триъгълник

б) Височината \( BB_{1} = h_{b} \)

Стъпка 1: Построяване в остроъгълен триъгълник

Стъпка 2: Построяване в тъпоъгълен триъгълник

в) Височината \( CC_{1} = h_{c} \)

Стъпка 1: Построяване в остроъгълен триъгълник

Стъпка 2: Построяване в тъпоъгълен триъгълник

Кратък запис на решението:

а) \( AA_{1} = h_a \)

б) \( BB_{1} = h_b \)

в) \( CC_{1} = h_c \)

Най-важното от урока

Задачи за упражнение

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Избери решение на задача:

Кратко решение

Подробно решение

Основни понятия

а) Височината \( AA_{1} = h_{a} \)

Стъпка 1: Построяване в остроъгълен триъгълник

Стъпка 2: Построяване в тъпоъгълен триъгълник

б) Височината \( BB_{1} = h_{b} \)

Стъпка 1: Построяване в остроъгълен триъгълник

Стъпка 2: Построяване в тъпоъгълен триъгълник

в) Височината \( CC_{1} = h_{c} \)

Стъпка 1: Построяване в остроъгълен триъгълник

Стъпка 2: Построяване в тъпоъгълен триъгълник

Кратък запис на решението:

а) \( AA_{1} = h_a \)

б) \( BB_{1} = h_b \)

в) \( CC_{1} = h_c \)

Задачи за упражнение

Надвий домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове: