120. Квадрат

Чертеж и въвеждане на означения

Начертаваме правоъгълник \(ABCD\) с диагонали \(AC\) и \(BD\). Дадено: \(ABCD\) – правоъгълник; \(AC\) и \(BD\) са диагонали; \(AC\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle DAB\) и \(\sphericalangle BCD\); \(BD\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle ABC\) и \(\sphericalangle CDA\). Да се докаже: \(ABCD\) е квадрат.

Намиране на ъглите в правоъгълника

Тъй като \(ABCD\) е правоъгълник, всички негови вътрешни ъгли са равни на \(90^\circ\): \[ \sphericalangle DAB = \sphericalangle ABC = \sphericalangle BCD = \sphericalangle CDA = 90^\circ \] По условие диагоналът \(AC\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle DAB\): \[ \sphericalangle BAC = \sphericalangle CAD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \]

Определяне на вида на триъгълника \(ABC\)

Разглеждаме правоъгълния \(\triangle ABC\) (\(\sphericalangle B = 90^\circ\)): \[ \sphericalangle BCA = 90^\circ - \sphericalangle BAC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \] Тъй като \(\sphericalangle BAC = \sphericalangle BCA = 45^\circ\), следва, че \(\triangle ABC\) е равнобедрен с бедра: \[ AB = BC \]

Доказване, че четириъгълникът е квадрат

По дефиниция правоъгълник с две равни съседни страни (\(AB = BC\)) е ромб, а правоъгълник, който е ромб, е квадрат. Следователно \(ABCD\) е квадрат.

\(ABCD\) – правоъгълник \(\Rightarrow \sphericalangle A = \sphericalangle B = 90^\circ\) \(AC\) – ъглополовяща \(\Rightarrow \sphericalangle BAC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\) В \(\triangle ABC\): \(\sphericalangle BCA = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\) \(\sphericalangle BAC = \sphericalangle BCA \Rightarrow AB = BC\) Правоъгълник с \(AB = BC\) е квадрат \(\Rightarrow ABCD\) е квадрат.