Най-важното от урока
Уравнение: Равенство с неизвестно число (\(x\)).
Пример: \(3x - 1 = 5\).
Корен: Стойност на неизвестното, която прави равенството вярно. За \(3x - 1 = 5\), коренът е \(x=2\).
Решаване: Процес на намиране на корените чрез прилагане на свойствата на равенствата (събиране, изваждане, умножение, деление на двете страни с едно и също число).
Проверка: Заместване на намерения корен в началното уравнение, за да се уверим, че се получава вярно равенство. Пример: \(3(2) - 1 = 6 - 1 = 5 \implies 5=5\). Вярно е!
Пример: \(3x - 1 = 5\).
Корен: Стойност на неизвестното, която прави равенството вярно. За \(3x - 1 = 5\), коренът е \(x=2\).
Решаване: Процес на намиране на корените чрез прилагане на свойствата на равенствата (събиране, изваждане, умножение, деление на двете страни с едно и също число).
Проверка: Заместване на намерения корен в началното уравнение, за да се уверим, че се получава вярно равенство. Пример: \(3(2) - 1 = 6 - 1 = 5 \implies 5=5\). Вярно е!
Равенство, в което едно число е неизвестно и е означено с буква (например \(x\)), се нарича уравнение с едно неизвестно.
Равенствата \(2x-3=-15\) и \(x^2-9=0\) са уравнения с неизвестно \(x\).
Кое от следните е уравнение?
а) \(12 + 5 = 17\)
б) \(3y - 1 = 8\)
в) \(x > 10\)
а) \(12 + 5 = 17\)
б) \(3y - 1 = 8\)
в) \(x > 10\)
Отговор: б) \(3y - 1 = 8\) е уравнение, защото съдържа знак за равенство и неизвестно число \(y\).
Корен (или решение) на уравнение се нарича всяко число, което, поставено на мястото на неизвестното, превръща уравнението във вярно числово равенство.
Числото \(3\) е корен на уравнението \(x^2-x=6\), защото при заместване на \(x\) с \(3\) получаваме:
\[ 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6 \]
Равенството \(6=6\) е вярно.
Проверете дали числото \(-2\) е корен на уравнението \(x^2 - 2x = 8\).
Заместваме \(x\) с \(-2\):
\[ (-2)^2 - 2(-2) = 4 - (-4) = 4 + 4 = 8 \]
Получаваме вярното равенство \(8=8\).
Отговор: Да, \(-2\) е корен на уравнението.
Отговор: Да, \(-2\) е корен на уравнението.
Свойствата на равенствата ни позволяват да преобразуваме уравненията, за да намерим техните корени. Тези преобразувания се наричат еквивалентни.
Можем да събираме или изваждаме едно и също число от двете страни на едно равенство.
Ако \(a=b\), то \(a+c = b+c\) и \(a-c = b-c\).
Ако \(a=b\), то \(a+c = b+c\) и \(a-c = b-c\).
Можем да умножаваме или делим двете страни на едно равенство на едно и също число \(c\), което е различно от нула (\(c \neq 0\)).
Ако \(a=b\), то \(a \cdot c = b \cdot c\) и \(a : c = b : c\).
Ако \(a=b\), то \(a \cdot c = b \cdot c\) и \(a : c = b : c\).
За да решим уравнението \(2x - 3 = -15\), първо добавяме \(3\) към двете страни:
\[ 2x - 3 + 3 = -15 + 3 \implies 2x = -12 \]
След това делим двете страни на \(2\):
\[ 2x : 2 = -12 : 2 \implies x = -6 \]
Каква първа стъпка ще предприемете, за да решите уравнението \(\dfrac{x}{4} + 1 = 5\)?
Отговор: Ще извадим \(1\) от двете страни на уравнението, за да изолираме израза, съдържащ \(x\).
\(\dfrac{x}{4} + 1 - 1 = 5 - 1 \implies \dfrac{x}{4} = 4\).
\(\dfrac{x}{4} + 1 - 1 = 5 - 1 \implies \dfrac{x}{4} = 4\).
Някои уравнения нямат корени. Това означава, че не съществува число, което да ги превръща във вярно равенство.
Уравнението \(x^2 + 25 = 0\) няма решение, защото \(x^2 \ge 0\) за всяко \(x\), следователно \(x^2+25\) е винаги положително и никога не може да бъде равно на 0.
Има ли решение уравнението \(|x-1| = -5\)? Обяснете защо.
Отговор: Няма решение. Модулът на всяко число или израз е винаги неотрицателен (\(\ge 0\)) и не може да бъде равен на отрицателно число като \(-5\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(x + 9 = 4\).
Изваждаме 9 от двете страни:
\[ x + 9 - 9 = 4 - 9 \]
\[ x = -5 \]
Средна: Намерете корена на уравнението \(5x - 7 = -22\).
Добавяме 7 към двете страни:
\[ 5x - 7 + 7 = -22 + 7 \]
\[ 5x = -15 \]
Делим двете страни на 5:
\[ 5x : 5 = -15 : 5 \]
\[ x = -3 \]
Трудна: Покажете, че числото \(-3\) е корен на уравнението \(x^2+2x=3\), а числото \(2\) не е корен.
Проверка за \(x=-3\):
\[ (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3 \]
Получава се вярното равенство \(3=3\), следователно \(-3\) е корен.
Проверка за \(x=2\): \[ 2^2 + 2(2) = 4 + 4 = 8 \] Получава се \(8 \neq 3\), следователно \(2\) не е корен.
Проверка за \(x=2\): \[ 2^2 + 2(2) = 4 + 4 = 8 \] Получава се \(8 \neq 3\), следователно \(2\) не е корен.
