Обложка

80. Трети Признак За Еднаквост На Триъгълници

Решения + Преговор
Урок
Тест

Избери решение на задача:

Задача 1 (безплатна)

Кратко решение

Начертайте отсечка AB. Постройте точка C в горната полуравнина така, че триъгълникът ABC да е равностранен (всички страни са с дължина 'a'). Постройте точка C_1 в долната полуравнина така, че триъгълникът ABC_1 също да е равностранен (всички страни са с дължина 'a'). Свържете точките C и C_1 с върховете A и B, както и помежду им.
а)
\( \triangle ABC \) и \( \triangle ABC_1 \) са равностранни с обща основа \( AB=a \). \( AB = AC = BC = a \) \( AB = AC_1 = BC_1 = a \) \( \triangle ABC \cong \triangle ABC_1 \) по III признак (ССС).
б)
\( AC = BC = a \) \( AC_1 = BC_1 = a \) \( CC_1 = CC_1 \) (обща) \( \triangle ACC_1 \cong \triangle BCC_1 \) по III признак (ССС).

Подробно решение


Начертайте отсечка AB. Постройте точка C в горната полуравнина така, че триъгълникът ABC да е равностранен (всички страни са с дължина 'a'). Постройте точка C_1 в долната полуравнина така, че триъгълникът ABC_1 също да е равностранен (всички страни са с дължина 'a'). Свържете точките C и C_1 с върховете A и B, както и помежду им.

а) Доказателство, че \( \triangle ABC \cong \triangle ABC_1 \)

Тъй като \( \triangle ABC \) е равностранен, то \( AB = BC = AC = a \). Тъй като \( \triangle ABC_1 \) е равностранен, то \( AB = BC_1 = AC_1 = a \). Разглеждаме \( \triangle ABC \) и \( \triangle ABC_1 \): 1. \( AB = AB \) (обща страна) 2. \( AC = AC_1 = a \) (по условие) 3. \( BC = BC_1 = a \) (по условие) Следователно, \( \triangle ABC \cong \triangle ABC_1 \) по III признак (ССС).

б) Доказателство, че \( \triangle ACC_1 \cong \triangle BCC_1 \)

Разглеждаме \( \triangle ACC_1 \) и \( \triangle BCC_1 \): 1. \( AC = BC = a \) (страни на равностранния \( \triangle ABC \)) 2. \( AC_1 = BC_1 = a \) (страни на равностранния \( \triangle ABC_1 \)) 3. \( CC_1 = CC_1 \) (обща страна) Следователно, \( \triangle ACC_1 \cong \triangle BCC_1 \) по III признак (ССС).

Кратък запис на решението:

а) \( \triangle ABC \cong \triangle ABC_1 \) по III признак (ССС), защото \( AB=AB \) (обща), \( AC=AC_1=a \), \( BC=BC_1=a \). б) \( \triangle ACC_1 \cong \triangle BCC_1 \) по III признак (ССС), защото \( AC=BC=a \), \( AC_1=BC_1=a \), \( CC_1=CC_1 \) (обща).

Най-важното от урока

Трети признак : Два триъгълника са еднакви, ако трите страни на единия са съответно равни на трите страни на другия.
Практическо приложение: Ако сглобявате конструкция от три летви с дължини \(50, 60\) и \(70\mathrm{~cm}\), формата на получения триъгълник ще е винаги една и съща, независимо от реда на сглобяване.
Ключова стратегия: Често доказваме еднаквост по трети признак на "по-малки" триъгълници, за да намерим равенство на ъгли, което после ни помага да докажем еднаквост на "по-големите" триъгълници по друг признак .
Ако трите страни на един триъгълник са съответно равни на трите страни на друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.
{Два триъгълника ABC и A₁B₁C₁ с маркировки, показващи, че съответните им страни са равни: AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и AC = A₁C₁.} Ако за \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) е дадено, че:
  • \( AB = A_1B_1 \)
  • \( BC = B_1C_1 \)
  • \( AC = A_1C_1 \)
то можем да заключим, че \( \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \) по III признак .
Дадени са \( \triangle MNP \) със страни \(10\mathrm{~ cm}, 7 \mathrm{~ cm}, 8 \mathrm{~ cm}\) и \( \triangle XYZ \) със страни \(7 \mathrm{~ cm}, 8 \mathrm{~ cm}, 10 \mathrm{~ cm}\). Еднакви ли са?
Отговор: Да. Двата триъгълника имат три двойки съответно равни страни \((10=10, 7=7, 8=8)\), следователно са еднакви по III признак.
Два равнобедрени триъгълника са еднакви по III признак, ако основата и бедрото на единия са съответно равни на основата и бедрото на другия.
Два равностранни триъгълника са еднакви, ако страна от единия триъгълник е равна на страна от другия.
Равностранен \( \triangle ABC \) със страна \(5\mathrm{~ cm}\) е еднакъв на равностранен \( \triangle PQR \) със страна \(5 \mathrm{~ cm}\), защото всичките им страни са по \(5\mathrm{~ cm}\).
Дадени са два равнобедрени триъгълника. Първият има основа \(8\mathrm{~ cm}\) и бедро \(10\mathrm{~ cm}\). Вторият има основа \(10\mathrm{~ cm}\) и бедро \(8\mathrm{~ cm}\). Еднакви ли са?
Отговор: Не. За да са еднакви по III признак, основите им трябва да са равни и бедрата им трябва да са равни. Тук основата на първия е равна на бедрото на втория и обратно.
Често, за да докажем еднаквост на два "главни" триъгълника, трябва първо да докажем еднаквост на два "помощни" триъгълника. Това ни дава допълнителни равни елементи (най-често ъгли), които можем да използваме в основното доказателство.
{Два триъгълника ABC и A₁B₁C₁, с медиани CM и C₁M₁ към страните AB и A₁B₁ съответно. Маркирани са равните по условие елементи: AB=A₁B₁, AC=A₁C₁ и CM=C₁M₁.} В задача, където са дадени \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) с \( AB = A_1B_1 \), \( AC = A_1C_1 \) и равни медиани \( CM = C_1M_1 \), постъпваме така:
  1. Доказваме, че \( \triangle AMC \cong \triangle A_1M_1C_1 \) по III признак, като използваме, че: \(AM=MB=A_1M_1=B_1M_1=\frac{AB}{2}=\frac{A_1B_1}{2}\).
  2. От тази еднаквост следва, че \( \sphericalangle A = \sphericalangle A_1 \).
  3. Вече можем да докажем, че \( \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \) по I признак , използвайки \( AC = A_1C_1 \), \( \sphericalangle A = \sphericalangle A_1 \) и \( AB = A_1B_1 \).
{Четириъгълник ABCD, в който страните AB и AD са равни, и страните BC и DC са равни. Диагоналът AC свързва върховете A и C.} В четириъгълника \( ABCD \) е дадено, че \( AB = AD \) и \( BC = DC \). Докажете, че диагоналът \( AC \) разделя \( \sphericalangle BCD \) на два равни ъгъла (т.е. \( \sphericalangle BCA = \sphericalangle DCA \)).
Разглеждаме \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \).
  • \( AB = AD \) (по условие)
  • \( BC = DC \) (по условие)
  • \( AC \) е обща страна за двата триъгълника
Следователно \( \triangle ABC \cong \triangle ADC \) по III признак . От еднаквостта следва, че съответните им елементи са равни, откъдето \( \sphericalangle BCA = \sphericalangle DCA \).

Задачи за упражнение

Лесна: Дадени са \( \triangle ABC \) със страни \( AB = 12, BC = 15, AC = 10 \) и \( \triangle MNP \) със страни \( MN = 12, NP = 10, MP = 15 \). Еднакви ли са триъгълниците и ако да, запишете еднаквостта правилно.
Да, еднакви са по III признак, защото имат три двойки съответно равни страни: \( AB=MN=12 \), \( BC=MP=15 \), \( AC=NP=10 \).
Правилният запис е \( \triangle ABC \cong \triangle NMP \), защото съответните върхове трябва да са подредени. \( \sphericalangle A \) е срещу страната \(15\), както \( \sphericalangle N \) е срещу \(15\). \( \sphericalangle B \) е срещу \(10\), както \( \sphericalangle M \) срещу \(10\).
Отговор: \( \triangle ABC \cong \triangle NPM \).
Средна: Дадени са два триъгълника \( \triangle ABC \) и \( \triangle ABD \), които имат обща основа \( AB \). Дадено е, че \( AC = AD \) и \( BC = BD \). Докажете, че \( \sphericalangle CAB = \sphericalangle DAB \).
Разглеждаме \( \triangle ABC \) и \( \triangle ABD \).
  1. \( AC = AD \) (по условие)
  2. \( BC = BD \) (по условие)
  3. \( AB \) е обща страна
От III признак следва, че \( \triangle ABC \cong \triangle ABD \).
Тъй като триъгълниците са еднакви, съответните им ъгли са равни. Ъгълът срещу страната \(BC\) е \( \sphericalangle CAB \), а ъгълът срещу равна на нея страна \(BD\) е \( \sphericalangle DAB \).
Следователно \( \sphericalangle CAB = \sphericalangle DAB \).
Трудна: Дадени са два равнобедрени триъгълника \( \triangle ABC \) (\( AC = BC \)) и \( \triangle ABD \) (\( AD = BD \)) с обща основа \( AB \). Точка \(D\) е вътрешна за \( \triangle ABC \). Докажете, че правата \( CD \) е симетрала на отсечката \( AB \).
{Два равнобедрени триъгълника ABC и ABD с обща основа AB. Точка C е над AB, а точка D е между C и AB. Правата CD пресича AB в точка M.} За да докажем, че \( CD \) е симетрала на \( AB \), трябва да докажем, че \( CD \perp AB \) и че \( CD \) разполовява \( AB \).
  1. Разглеждаме \( \triangle ADC \) и \( \triangle BDC \):
    • \( AC = BC \) (по условие, \( \triangle ABC \) е равнобедрен)
    • \( AD = BD \) (по условие, \( \triangle ABD \) е равнобедрен)
    • \( CD \) е обща страна
    Следователно, \( \triangle ADC \cong \triangle BDC \) по III признак.
  2. От еднаквостта следва, че съответните ъгли са равни, т.е. \( \sphericalangle ACD = \sphericalangle BCD \).
  3. Разглеждаме \( \triangle AMC \) и \( \triangle BMC \), където \( M \) е пресечната точка на \( CD \) и \( AB \):
    • \( AC = BC \) (по условие)
    • \( \sphericalangle ACM = \sphericalangle BCM \) (от стъпка 2, това са същите ъгли)
    • \( CM \) е обща страна
    Следователно, \( \triangle AMC \cong \triangle BMC \) по I признак .
  4. От втората еднаквост следва:
    • \( AM = BM \), т.е. \( CD \) разполовява \( AB \).
    • \( \sphericalangle AMC = \sphericalangle BMC \). Тъй като тези два ъгъла са съседни и сборът им е \(180^\circ\), то \( \sphericalangle AMC = \sphericalangle BMC = 90^\circ \), т.е. \( CD \perp AB \).
Тъй като \( CD \perp AB \) и \( CD \) разполовява \( AB \), по определение \( CD \) е симетрала на \( AB \).

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

103886 решения

1942 уроци и тестове

Иконка Математика
4 клас
5 клас
6 клас
7 клас
8 клас
9 клас
10 клас
11 клас
12 клас

Физика

8909 решения

462 уроци и тестове

Иконка Физика

Химия

7875 решения

528 уроци и тестове

Иконка Химия

История

3655 отговори на въпроси

1720 резюмета и тестове

Иконка История

Литература

773 материали

Иконка Литература
5 клас
6 клас
7 клас
8 клас
9 клас
10 клас
11 клас
12 клас

Биология

+Човек и Природа

2258 отговори | 444 уроци

Иконка Биология

География

1137 отговори на въпроси

747 уроци

Иконка География

Български език

1782 решения

524 резюмета и тестове

Иконка Български език

PhotoSolveAI

Решение на задачи от снимка

Иконка Литература

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст
Научи повече