47. Проста лихва

Според условието трябва да съставим текстова задача за всяка от колоните в таблицата, като използваме дадените данни, след което да я решим, за да намерим липсващите стойности. За улеснение ще използваме стандартните означения: \(K\) – начален капитал \(p\) – лихвен процент за 1 период \(n\) – брой периоди \(L\) – натрупана лихва за \(n\) периода \(K_n\) – нараснал капитал Основните формули, които ще използваме, са: 1. Натрупана лихва: \[ L = K \cdot \frac{p}{100} \cdot n \] 2. Нараснал капитал: \[ K_n = K + L \]

Задача 1 (по данни от първа колона)

Съставяне на задачата:

Г-н Иванов вложил в банка начален капитал от 25 000 лв. при 5% лихва за период. Колко лева ще е натрупаната лихва след 6 периода и какъв ще бъде нарасналият капитал?

Решение:

Заместваме дадените стойности (\(K = 25\,000\), \(p = 5\), \(n = 6\)) във формулата за лихвата: \[ L = 25\,000 \cdot \frac{5}{100} \cdot 6 = 250 \cdot 5 \cdot 6 = 7\,500 \text{ лв.} \] След това намираме нарасналия капитал, като съберем началния капитал и натрупаната лихва: \[ K_n = 25\,000 + 7\,500 = 32\,500 \text{ лв.} \]

Задача 2 (по данни от втора колона)

Съставяне на задачата:

Фирма инвестирала 32 000 лв. при 4% лихва за период. След колко периода капиталът ѝ е нараснал на 35 840 лв. и каква е натрупаната лихва през това време?

Решение:

Първо намираме натрупаната лихва, като от нарасналия капитал извадим началния: \[ L = 35\,840 - 32\,000 = 3\,840 \text{ лв.} \] За да намерим броя периоди \(n\), изчисляваме каква е лихвата само за 1 период: \[ L_1 = 32\,000 \cdot \frac{4}{100} = 1\,280 \text{ лв.} \] Броят периоди получаваме, като разделим общата лихва на лихвата за 1 период: \[ n = \frac{3\,840}{1\,280} = 3 \text{ периода} \]

Задача 3 (по данни от трета колона)

Съставяне на задачата:

След 2 периода влог от 18 000 лв. е нараснал на 19 080 лв. Намерете каква е натрупаната лихва и какъв е лихвеният процент за един период.

Решение:

Отново първо намираме натрупаната лихва, като извадим началния капитал от нарасналия: \[ L = 19\,080 - 18\,000 = 1\,080 \text{ лв.} \] Лихвата за 1 период е половината от общата лихва, тъй като периодите са 2: \[ L_1 = \frac{1\,080}{2} = 540 \text{ лв.} \] Намираме какъв процент от началния капитал представлява тази лихва: \[ p = \frac{540}{18\,000} \cdot 100\% = \frac{540}{\cancel{18\,000}_{180}} \cdot \cancel{100}^1 = \frac{\cancel{540}^3}{\cancel{180}_1}\% = 3\% \]

Задача 4 (по данни от четвърта колона)

Съставяне на задачата:

Сума е вложена при 4% лихва на период. След 5 периода нарасналият капитал станал 43 200 лв. Намерете какъв е бил началният капитал и натрупаната лихва.

Решение:

Нека началният капитал е \(x\) лв. (където \(x > 0\)). Изразяваме лихвата за 5 периода: \[ L = x \cdot \frac{4}{100} \cdot 5 = x \cdot \frac{20}{100} = 0,2x \] Нарасналият капитал е сбор от началния и лихвата: \[ x + 0,2x = 43\,200 \] \[ 1,2x = 43\,200 \] \[ x = \frac{43\,200}{1,2} = \frac{432\,000}{12} = 36\,000 \text{ лв.} \] Началният капитал е 36 000 лв. Сега намираме натрупаната лихва: \[ L = 43\,200 - 36\,000 = 7\,200 \text{ лв.} \]

Задача 5 (по данни от пета колона)

Съставяне на задачата:

За 4 периода даден капитал натрупал лихва от 5 040 лв., като нарасналият капитал достигнал 47 040 лв. Намерете началния капитал и лихвения процент за един период.

Решение:

Намираме началния капитал, като от нарасналия капитал извадим натрупаната лихва: \[ K = 47\,040 - 5\,040 = 42\,000 \text{ лв.} \] За да намерим лихвения процент, първо намираме лихвата за 1 период (общата лихва делена на 4): \[ L_1 = \frac{5\,040}{4} = 1\,260 \text{ лв.} \] Лихвеният процент е отношението на лихвата за 1 период към началния капитал: \[ p = \frac{1\,260}{42\,000} \cdot 100\% = \frac{1\,260}{\cancel{42\,000}_{420}} \cdot \cancel{100}^1 = \frac{\cancel{1\,260}^3}{\cancel{420}_1}\% = 3\% \]

Задача 6 (по данни от шеста колона)

Съставяне на задачата:

Влог носи лихва от 2% за период. Вложителят получил общо 6 000 лв. лихва, като нарасналият капитал станал 56 000 лв. Намерете началния капитал и за колко периода е вложен.

Решение:

Намираме началния капитал, като от нарасналия капитал извадим лихвата: \[ K = 56\,000 - 6\,000 = 50\,000 \text{ лв.} \] Изчисляваме лихвата само за 1 период, като знаем, че е 2% от началния капитал: \[ L_1 = 50\,000 \cdot \frac{2}{100} = 1\,000 \text{ лв.} \] Броят периоди получаваме, като разделим общата лихва на лихвата за 1 период: \[ n = \frac{6\,000}{1\,000} = 6 \text{ периода} \]

Попълнена таблица:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Начален капитал (лв.)} & 25\,000 & 32\,000 & 18\,000 & 36\,000 & 42\,000 & 50\,000 \\ \hline \text{Лихвен процент за 1 период} & 5\% & 4\% & 3\% & 4\% & 3\% & 2\% \\ \hline \text{Брой периоди} & 6 & 3 & 2 & 5 & 4 & 6 \\ \hline \text{Лихва за n периода (лв.)} & 7\,500 & 3\,840 & 1\,080 & 7\,200 & 5\,040 & 6\,000 \\ \hline \text{Нараснал капитал за n периода (лв.)} & 32\,500 & 35\,840 & 19\,080 & 43\,200 & 47\,040 & 56\,000 \\ \hline \end{array} \]

1)

\[ L = 25\,000 \cdot 0,05 \cdot 6 = 7\,500 \] \[ K_n = 25\,000 + 7\,500 = 32\,500 \]

2)

\[ L = 35\,840 - 32\,000 = 3\,840 \] \[ n = \frac{3\,840}{32\,000 \cdot 0,04} = \frac{3\,840}{1\,280} = 3 \]

3)

\[ L = 19\,080 - 18\,000 = 1\,080 \] \[ p = \frac{1\,080}{18\,000 \cdot 2} \cdot 100 = 3\% \]

4)

\[ K + K \cdot 0,04 \cdot 5 = 43\,200 \Rightarrow 1,2K = 43\,200 \Rightarrow K = 36\,000 \] \[ L = 43\,200 - 36\,000 = 7\,200 \]

5)

\[ K = 47\,040 - 5\,040 = 42\,000 \] \[ p = \frac{5\,040}{42\,000 \cdot 4} \cdot 100 = \frac{5\,040}{168\,000} \cdot 100 = 3\% \]

6)

\[ K = 56\,000 - 6\,000 = 50\,000 \] \[ n = \frac{6\,000}{50\,000 \cdot 0,02} = \frac{6\,000}{1\,000} = 6 \] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Начален капитал (лв.)} & 25\,000 & 32\,000 & 18\,000 & 36\,000 & 42\,000 & 50\,000 \\ \hline \text{Лихвен процент} & 5\% & 4\% & 3\% & 4\% & 3\% & 2\% \\ \hline \text{Брой периоди} & 6 & 3 & 2 & 5 & 4 & 6 \\ \hline \text{Лихва (лв.)} & 7\,500 & 3\,840 & 1\,080 & 7\,200 & 5\,040 & 6\,000 \\ \hline \text{Нараснал капитал (лв.)} & 32\,500 & 35\,840 & 19\,080 & 43\,200 & 47\,040 & 56\,000 \\ \hline \end{array} \]